Вопросы?, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - страница 225.

Условие.

1. Сформулируйте определение степени с рациональным показателем.

2. Перечислите свойства степени с рациональным показателем.

Решение.

1. Сформулируйте определение степени с рациональным показателем.

Степенью положительного числа $a$ ($a > 0$) с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), называется число, равное корню $n$-й степени из числа $a$ в степени $m$.

Данное определение выражается следующей формулой:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Если показатель степени $r$ является целым числом ($r=m$), то степень $a^m$ определяется так же, как и степень с целым показателем. Определение для рационального показателя является обобщением определения степени с целым показателем.

Ответ: Степенью числа $a > 0$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$ (где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число) называется число $\sqrt[n]{a^m}$.

2. Перечислите свойства степени с рациональным показателем.

Для любых рациональных чисел $p$ и $q$ и любых положительных чисел $a$ и $b$ ($a > 0, b > 0$) справедливы следующие свойства, аналогичные свойствам степени с целым показателем:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$
• Частное степеней с одинаковым основанием: $a^p : a^q = a^{p-q}$
• Возведение степени в степень: $(a^p)^q = a^{pq}$
• Степень произведения: $(ab)^p = a^p b^p$
• Степень частного (дроби): $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$

Ответ: Для любых $a>0, b>0$ и рациональных чисел $p, q$: 1) $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$; 2) $a^p : a^q = a^{p-q}$; 3) $(a^p)^q = a^{pq}$; 4) $(ab)^p = a^p b^p$; 5) $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.