Номер 23.21, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.21, страница 228.

Условие.

23.21. Вычислите значение выражения:

1) $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^3$

2) $25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} - 81^{0,75}$

3) $(\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} + (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5}$

4) $16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5}$

5) $\frac{10000^{0,4} \cdot 100^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}}$

6) $\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} : \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}$

7) $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 36^{-\frac{1}{6}}$

8) $(\frac{3^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^{\frac{1}{3}}})^{-6}$

Решение.

1) $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^3$

Сначала преобразуем десятичную дробь $0,5$ в обыкновенную $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$. Затем разложим основания степеней на простые множители, чтобы упростить выражение.

$12 = 2^2 \cdot 3$

$6 = 2 \cdot 3$

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$(2^2 \cdot 3)^{1/3} \cdot (2 \cdot 3)^{2/3} \cdot (2^{-1})^3$

Применим свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^{2 \cdot 1/3} \cdot 3^{1/3}) \cdot (2^{2/3} \cdot 3^{2/3}) \cdot 2^{-1 \cdot 3} = (2^{2/3} \cdot 3^{1/3}) \cdot (2^{2/3} \cdot 3^{2/3}) \cdot 2^{-3}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2/3 + 2/3 - 3} \cdot 3^{1/3 + 2/3} = 2^{4/3 - 9/3} \cdot 3^{3/3} = 2^{-5/3} \cdot 3^1$

Запишем результат в виде дроби с корнем:

$\frac{3}{2^{5/3}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^5}} = \frac{3}{\sqrt[3]{32}} = \frac{3}{\sqrt[3]{8 \cdot 4}} = \frac{3}{2\sqrt[3]{4}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$:

$\frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{4}$.

2) $25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} - 81^{0,75}$

Преобразуем десятичные показатели степеней в обыкновенные дроби и вычислим значение каждого слагаемого:

$25^{1,5} = 25^{3/2} = (5^2)^{3/2} = 5^{2 \cdot 3/2} = 5^3 = 125$.

$(0,25)^{-0,5} = (\frac{1}{4})^{-1/2} = (4)^{1/2} = \sqrt{4} = 2$.

$81^{0,75} = 81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^{4 \cdot 3/4} = 3^3 = 27$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$125 + 2 - 27 = 127 - 27 = 100$.

Ответ: $100$.

3) $\left(\left(\frac{1}{16}\right)^{-3/4} + \left(\frac{1}{8}\right)^{-2/3}\right) \cdot (0,81)^{-0,5}$

Вычислим значение выражения в скобках. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$\left(\frac{1}{16}\right)^{-3/4} = 16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8$.

$\left(\frac{1}{8}\right)^{-2/3} = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.

Сумма в скобках: $8 + 4 = 12$.

Теперь вычислим второй множитель:

$(0,81)^{-0,5} = \left(\frac{81}{100}\right)^{-1/2} = \left(\frac{100}{81}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$.

Перемножим полученные результаты:

$12 \cdot \frac{10}{9} = \frac{12 \cdot 10}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{40}{3}$.

Ответ: $\frac{40}{3}$.

4) $16^{1/8} \cdot 8^{5/6} \cdot 4^{1,5}$

Представим все основания степеней как степени числа 2:

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

$4 = 2^2$

Подставим их в выражение и используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^4)^{1/8} \cdot (2^3)^{5/6} \cdot (2^2)^{1,5} = 2^{4/8} \cdot 2^{15/6} \cdot 2^{2 \cdot 1,5} = 2^{1/2} \cdot 2^{5/2} \cdot 2^3$.

Сложим показатели степеней:

$2^{1/2 + 5/2 + 3} = 2^{6/2 + 3} = 2^{3 + 3} = 2^6$.

Вычислим результат:

$2^6 = 64$.

Ответ: $64$.

5) $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{1/6}}$

Представим все основания как степени числа 10:

$10000 = 10^4$

$100 = 10^2$

$1000 = 10^3$

Подставим в выражение:

$\frac{(10^4)^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{(10^2)^{0,3} \cdot (10^3)^{1/6}} = \frac{10^{4 \cdot 0,4} \cdot 10^{0,5}}{10^{2 \cdot 0,3} \cdot 10^{3/6}} = \frac{10^{1,6} \cdot 10^{0,5}}{10^{0,6} \cdot 10^{0,5}}$.

Применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{1,6+0,5}}{10^{0,6+0,5}} = \frac{10^{2,1}}{10^{1,1}} = 10^{2,1-1,1} = 10^1 = 10$.

Ответ: $10$.

6) $\frac{5^{3/2} \cdot 8^{1/12}}{9^{1/6}} \cdot \frac{8^{1/4}}{5^{5/2} \cdot 9^{1/3}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{5^{3/2}}{5^{5/2}} \cdot \frac{8^{1/12} \cdot 8^{1/4}}{1} \cdot \frac{1}{9^{1/6} \cdot 9^{1/3}}$

Применим свойства степеней для каждого основания:

Для основания 5: $5^{3/2 - 5/2} = 5^{-2/2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Для основания 8: $8^{1/12 + 1/4} = 8^{1/12 + 3/12} = 8^{4/12} = 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Для основания 9: $9^{1/6 + 1/3} = 9^{1/6 + 2/6} = 9^{3/6} = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь объединим результаты:

$\frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.

Ответ: $\frac{2}{15}$.

7) $(72^{2/3})^{1/2} \cdot 2^{4/3} : 36^{-1/6}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a : b^k = a \cdot b^{-k}$.

$(72^{2/3 \cdot 1/2}) \cdot 2^{4/3} \cdot (36^{-1/6})^{-1} = 72^{1/3} \cdot 2^{4/3} \cdot 36^{1/6}$.

Разложим основания 72 и 36 на простые множители:

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

$36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

Подставим разложения в выражение:

$(2^3 \cdot 3^2)^{1/3} \cdot 2^{4/3} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{1/6} = (2^{3 \cdot 1/3} \cdot 3^{2 \cdot 1/3}) \cdot 2^{4/3} \cdot (2^{2 \cdot 1/6} \cdot 3^{2 \cdot 1/6})$

$= (2^1 \cdot 3^{2/3}) \cdot 2^{4/3} \cdot (2^{1/3} \cdot 3^{1/3})$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$2^{1 + 4/3 + 1/3} \cdot 3^{2/3 + 1/3} = 2^{1 + 5/3} \cdot 3^{3/3} = 2^{3/3 + 5/3} \cdot 3^1 = 2^{8/3} \cdot 3$.

Представим результат в виде корня:

$3 \cdot \sqrt[3]{2^8} = 3 \cdot \sqrt[3]{2^6 \cdot 2^2} = 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt[3]{2^2} = 12\sqrt[3]{4}$.

Ответ: $12\sqrt[3]{4}$.

8) $\left( \frac{3^{-5/6} \cdot 7^{-5/6}}{21^{-1} \cdot 5^{1/3}} \right)^{-6}$

Сначала упростим выражение в числителе дроби внутри скобок, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$3^{-5/6} \cdot 7^{-5/6} = (3 \cdot 7)^{-5/6} = 21^{-5/6}$.

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$\frac{21^{-5/6}}{21^{-1} \cdot 5^{1/3}}$

Упростим степени с основанием 21, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{21^{-5/6 - (-1)}}{5^{1/3}} = \frac{21^{-5/6 + 1}}{5^{1/3}} = \frac{21^{1/6}}{5^{1/3}}$.

Теперь возведем полученную дробь в степень -6, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\left(\frac{21^{1/6}}{5^{1/3}}\right)^{-6} = \frac{(21^{1/6})^{-6}}{(5^{1/3})^{-6}} = \frac{21^{1/6 \cdot (-6)}}{5^{1/3 \cdot (-6)}} = \frac{21^{-1}}{5^{-2}}$.

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{5^2}{21^1} = \frac{25}{21}$.

Ответ: $\frac{25}{21}$.