Номер 23.28, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.28, страница 229.

Условие.

23.28. Докажите тождество:

1) $ \left( \frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{1}{3}} + mn^{\frac{1}{2}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{m}{n} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}} $

2) $ \left( \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} \right) : \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Решение.

1)

Докажем тождество, упростив его левую часть (Л.Ч.).

Л.Ч. = $ (\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{m}{n} $

Сначала преобразуем выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель первой дроби:

$ m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}} = m \cdot m^{\frac{1}{2}} + m \cdot n^{\frac{1}{2}} = m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}) $

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$:

$ \frac{m^2 + n^2}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} - \frac{m(m+n)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{m^2 + n^2 - m(m+n)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{m^2 + n^2 - m^2 - mn}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n^2 - mn}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n(n-m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} $

Теперь умножим полученное выражение на $\frac{m}{n}$:

$ \frac{n(n-m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n-m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} $

Разложим числитель по формуле разности квадратов, представив $n = (n^{\frac{1}{2}})^2$ и $m = (m^{\frac{1}{2}})^2$:

$ n - m = (n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}) $

Подставим это в наше выражение и сократим дробь:

$ \frac{(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}} $

Левая часть тождества равна правой части ($n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (Л.Ч.). В исходном условии, скорее всего, допущена опечатка в числителе первой дроби. Если предположить, что там стоит $a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}$ вместо $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$, тождество оказывается верным. Докажем его с этим исправлением.

Исправленное выражение:

Л.Ч. = $ (\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1}-b^{-1}} - \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}}) : \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} $

1. Упростим выражение в скобках. Преобразуем каждую дробь, избавляясь от отрицательных степеней.

Первая дробь: $ \frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1}-b^{-1}} = \frac{(ab)^{-\frac{1}{3}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}} = \frac{(ab)^{-\frac{1}{3}}}{\frac{b-a}{ab}} = \frac{ab \cdot (ab)^{-\frac{1}{3}}}{b-a} = \frac{(ab)^{\frac{2}{3}}}{b-a} $.

Вторая дробь: $ \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{1}{\frac{b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}} $.

2. Выполним вычитание дробей. Разложим $b-a = (b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}})(b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}})$ и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(ab)^{\frac{2}{3}}}{b-a} - \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}})}{b-a} $

Упростим числитель:

$ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{1}{3}}b + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} - ab^{\frac{1}{3}} = -a^{\frac{1}{3}}b - ab^{\frac{1}{3}} = -a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{b-a} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{a-b} $

3. Выполним деление:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{a-b} : \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{a-b} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} $

Сократим $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a-b} $

4. Разложим знаменатель $a-b = (a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ и сократим дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}} $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при условии исправления опечатки).

Ответ: Тождество доказано при условии, что числитель первой дроби в скобках равен $a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}$.