Номер 23.32, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.32, страница 230.

Условие.

23.32. Упростите выражение $a^{0.2} + a^{0.5} + a^{0.8} + a^{1.1} + \ldots + a^{7.1}$.

Решение.

Данное выражение представляет собой сумму членов $a^{0,2} + a^{0,5} + a^{0,8} + a^{1,1} + \dots + a^{7,1}$.

Рассмотрим последовательность показателей степеней: $0,2; 0,5; 0,8; 1,1; \dots; 7,1$.

Найдем разность между соседними членами этой последовательности:

$0,5 - 0,2 = 0,3$

$0,8 - 0,5 = 0,3$

$1,1 - 0,8 = 0,3$

Поскольку разность постоянна, эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $b_1 = 0,2$ и разностью $d = 0,3$.

Следовательно, исходное выражение является суммой членов геометрической прогрессии. Найдем ее параметры.

Первый член геометрической прогрессии: $B_1 = a^{0,2}$.

Знаменатель геометрической прогрессии: $q = \frac{a^{0,5}}{a^{0,2}} = a^{0,5 - 0,2} = a^{0,3}$.

Чтобы найти сумму, нам нужно определить количество членов прогрессии, $n$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии для показателей степеней: $b_n = b_1 + (n-1)d$.

Последний член последовательности показателей $b_n = 7,1$. Подставим известные значения:

$7,1 = 0,2 + (n-1) \cdot 0,3$

$7,1 - 0,2 = (n-1) \cdot 0,3$

$6,9 = (n-1) \cdot 0,3$

$n-1 = \frac{6,9}{0,3} = \frac{69}{3} = 23$

$n = 23 + 1 = 24$

Таким образом, в сумме 24 члена.

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = B_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Подставим наши значения: $B_1 = a^{0,2}$, $q = a^{0,3}$, $n = 24$.

$S_{24} = a^{0,2} \frac{(a^{0,3})^{24} - 1}{a^{0,3} - 1} = a^{0,2} \frac{a^{0,3 \cdot 24} - 1}{a^{0,3} - 1} = a^{0,2} \frac{a^{7,2} - 1}{a^{0,3} - 1}$

Можно также раскрыть скобки в числителе:

$S_{24} = \frac{a^{0,2} \cdot a^{7,2} - a^{0,2} \cdot 1}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{0,2 + 7,2} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{7,4} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1}$

Оба варианта являются верными.

Ответ: $\frac{a^{0,2}(a^{7,2} - 1)}{a^{0,3} - 1}$ или $\frac{a^{7,4} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1}$.