Номер 23.25, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.25, страница 229.

Условие.

23.25. Упростите выражение:

1) $\frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} - \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b};$

2) $\frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} + \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}};$

3) $\frac{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}};$

4) $\frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^3} : \frac{a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}.$

Решение.

1)Исходное выражение: $ \frac{a - b}{a^{0,5} - b^{0,5}} - \frac{a^{1,5} - b^{1,5}}{a - b} $.
Для упрощения воспользуемся формулами разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим $a$ как $(a^{0,5})^2$, $b$ как $(b^{0,5})^2$, $a^{1,5}$ как $(a^{0,5})^3$ и $b^{1,5}$ как $(b^{0,5})^3$.
Упростим первую дробь:
$ \frac{a - b}{a^{0,5} - b^{0,5}} = \frac{(a^{0,5})^2 - (b^{0,5})^2}{a^{0,5} - b^{0,5}} = \frac{(a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})}{a^{0,5} - b^{0,5}} = a^{0,5} + b^{0,5} $.
Упростим вторую дробь:
$ \frac{a^{1,5} - b^{1,5}}{a - b} = \frac{(a^{0,5})^3 - (b^{0,5})^3}{(a^{0,5})^2 - (b^{0,5})^2} = \frac{(a^{0,5} - b^{0,5})(a + a^{0,5}b^{0,5} + b)}{(a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})} = \frac{a + a^{0,5}b^{0,5} + b}{a^{0,5} + b^{0,5}} $.
Теперь вычтем второе из первого:
$ (a^{0,5} + b^{0,5}) - \frac{a + a^{0,5}b^{0,5} + b}{a^{0,5} + b^{0,5}} $.
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{(a^{0,5} + b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5}) - (a + a^{0,5}b^{0,5} + b)}{a^{0,5} + b^{0,5}} = \frac{(a^{0,5} + b^{0,5})^2 - (a + a^{0,5}b^{0,5} + b)}{a^{0,5} + b^{0,5}} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{(a + 2a^{0,5}b^{0,5} + b) - a - a^{0,5}b^{0,5} - b}{a^{0,5} + b^{0,5}} = \frac{a^{0,5}b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $.
Ответ: $ \frac{a^{0,5}b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $.

2)Исходное выражение: $ \frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} + \frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{a^{0,5} - b^{0,5}} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{0,5} + b^{0,5})(a^{0,5} - b^{0,5})$. Используя формулу разности квадратов, получим $ (a^{0,5})^2 - (b^{0,5})^2 = a - b $.
$ \frac{(a^{0,5} - b^{0,5})^2 + (a^{0,5} + b^{0,5})^2}{(a^{0,5} + b^{0,5})(a^{0,5} - b^{0,5})} $.
Раскроем квадраты в числителе по формулам квадрата разности и квадрата суммы:
$ (a^{0,5} - b^{0,5})^2 = a - 2a^{0,5}b^{0,5} + b $
$ (a^{0,5} + b^{0,5})^2 = a + 2a^{0,5}b^{0,5} + b $
Сложим выражения в числителе:
$ \frac{(a - 2a^{0,5}b^{0,5} + b) + (a + 2a^{0,5}b^{0,5} + b)}{a - b} = \frac{a+a+b+b-2a^{0,5}b^{0,5}+2a^{0,5}b^{0,5}}{a-b} = \frac{2a + 2b}{a - b} = \frac{2(a+b)}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{2(a+b)}{a-b} $.

3)Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
1. Числитель первой дроби (квадрат суммы): $a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})^2$.
2. Знаменатель первой дроби (вынесение общего множителя): $a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}} = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}}) = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$.
3. Числитель второй дроби (вынесение общего множителя и разность квадратов): $a - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$.
4. Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя): $a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})$.
Подставим разложенные выражения и произведем умножение:
$ \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})^2}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})} $.
Сократим общие множители $(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})$ и $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$:
$ \frac{a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{4}}} $.
Перемножим оставшиеся части и упростим степени:
$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{4}}} = \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{6}+\frac{1}{4}}} = \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}}b^{\frac{10}{12}+\frac{3}{12}}} = \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{3}{6}}b^{\frac{13}{12}}} = \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{13}{12}}} $.
Ответ: $ \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{13}{12}}} $.

4)Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} $.
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}} $.
Сгруппируем числители и знаменатели:
$ \frac{(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{(a(a-b))^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}} $.
Упростим числитель по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$ (a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}) = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = a^3 - b^3 $.
Упростим знаменатель, раскрыв скобки и используя свойства степеней:
$ (a(a-b))^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}) \cdot ((a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot (a-b)^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}} \cdot (a-b)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^0 \cdot (a-b)^1 = a-b $.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{a^3 - b^3}{a - b} $.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} = a^2+ab+b^2 $.
Ответ: $ a^2+ab+b^2 $.