Номер 23.30, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.30, страница 230.

Условие.

23.30. Упростите выражение:

1) $\frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} : \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}};$

2) $\frac{m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n}{m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}}} : \left(1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}\right) - \sqrt[3]{m^2}.$

Решение.

1)

Для упрощения выражения введем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{4}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x = a^4$, $y = b^4$, $x^{\frac{1}{2}} = a^2$, $y^{\frac{1}{2}} = b^2$ и так далее. Перепишем исходное выражение с новыми переменными:

$ \frac{a^4 - b^4}{a^3 + a^2b} \cdot \frac{a^2b + ab^2}{a^2 + b^2} : \frac{a - b}{a^2 - 2ab + b^2} $

Теперь упростим каждую часть выражения по шагам.

1. Упростим первую дробь:

$ \frac{a^4 - b^4}{a^3 + a^2b} = \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2(a + b)} = \frac{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}{a^2(a + b)} = \frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{a^2} $

2. Упростим вторую дробь:

$ \frac{a^2b + ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{ab(a + b)}{a^2 + b^2} $

3. Упростим третью дробь (делитель):

$ \frac{a - b}{a^2 - 2ab + b^2} = \frac{a - b}{(a - b)^2} = \frac{1}{a - b} $

4. Теперь объединим все части. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:

$ \frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{a^2} \cdot \frac{ab(a + b)}{a^2 + b^2} \cdot (a - b) $

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$:

$ \frac{(a - b)}{a^2} \cdot ab(a + b) \cdot (a - b) = \frac{ab(a - b)^2(a + b)}{a^2} $

Сократим $a$:

$ \frac{b(a - b)^2(a + b)}{a} $

5. Выполним обратную замену $a = x^{\frac{1}{4}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$:

$ \frac{y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})^2(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}}} $

Можно также представить ответ в виде:

$ (\frac{y}{x})^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $

Ответ: $ \frac{y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})^2(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}}} $

2)

Для упрощения выражения введем замену: пусть $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{3}}$. Тогда $m^{\frac{4}{3}} = a^4$, $m^{\frac{2}{3}} = a^2$, $\sqrt[3]{mn} = (mn)^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} = ab$, $n = b^3$, $n^{\frac{2}{3}}=b^2$, $\sqrt[3]{\frac{n}{m}} = \frac{b}{a}$ и $\sqrt[3]{m^2} = a^2$. Перепишем исходное выражение с новыми переменными:

$ \frac{a^4 - 27ab^3}{a^2 + 3ab + 9b^2} : (1 - 3\frac{b}{a}) - a^2 $

Рассмотрим выражение по частям.

1. Упростим числитель первой дроби, вынеся за скобки общий множитель $a$ и применив формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$ a^4 - 27ab^3 = a(a^3 - 27b^3) = a(a^3 - (3b)^3) = a(a - 3b)(a^2 + a(3b) + (3b)^2) = a(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) $

2. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{a(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)}{a^2 + 3ab + 9b^2} = a(a - 3b) $

3. Упростим выражение в скобках (делитель):

$ 1 - 3\frac{b}{a} = \frac{a}{a} - \frac{3b}{a} = \frac{a - 3b}{a} $

4. Выполним деление:

$ a(a - 3b) : \frac{a - 3b}{a} = a(a - 3b) \cdot \frac{a}{a - 3b} $

Сократим общий множитель $(a - 3b)$:

$ a \cdot a = a^2 $

5. Теперь вернемся к исходному выражению, подставив полученный результат:

$ a^2 - a^2 = 0 $

Ответ: 0