Номер 21, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 21, страница 190.

Условие.

21. Докажите неравенство $ \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2\sqrt{n+1} - 2 $, где $ n \in N $.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки каждого слагаемого суммы. Рассмотрим общий член суммы $\frac{1}{\sqrt{k}}$ для $k \in \{1, 2, ..., n\}$.

Сравним его с выражением $2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$. Для этого преобразуем данное выражение, домножив и разделив его на сопряженное:

$2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = 2 \cdot \frac{(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = 2 \cdot \frac{(k+1) - k}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Для любого натурального $k \ge 1$ справедливо неравенство $\sqrt{k} < \sqrt{k+1}$.

Отсюда следует, что $\sqrt{k} + \sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k}$, что эквивалентно $2\sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k}$.

Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{2\sqrt{k}} > \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Умножим обе части на 2:

$\frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Подставляя в правую часть ранее полученное выражение, получаем ключевую оценку для каждого члена суммы:

$\frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

Теперь применим это неравенство для каждого слагаемого в левой части исходного неравенства от $k=1$ до $k=n$:

• При $k=1$: $\frac{1}{\sqrt{1}} > 2(\sqrt{2} - \sqrt{1})$
• При $k=2$: $\frac{1}{\sqrt{2}} > 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
• При $k=3$: $\frac{1}{\sqrt{3}} > 2(\sqrt{4} - \sqrt{3})$
• ...
• При $k=n$: $\frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

Сложим все эти неравенства:

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

В правой части вынесем 2 за скобки. Сумма в скобках является телескопической, так как все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$2 [ (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) ] = 2 [ -\sqrt{1} + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n} - \sqrt{n}) + \sqrt{n+1} ]$

После сокращения в скобках остаются только первый и последний члены:

$2(-\sqrt{1} + \sqrt{n+1}) = 2(\sqrt{n+1} - 1) = 2\sqrt{n+1} - 2$

Таким образом, мы доказали, что:

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2\sqrt{n+1} - 2$

Ответ: Неравенство доказано.