Номер 16, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 16, страница 189.

Условие.

16. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$ и $abc = 1$, то:

$\frac{1}{a(b^3 + c^3)} + \frac{1}{b(c^3 + a^3)} + \frac{1}{c(a^3 + b^3)} \le \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}.$

Решение.

Для доказательства воспользуемся условием $a > 0, b > 0, c > 0$ и $abc=1$.

Сначала преобразуем левую часть неравенства. Используя условие $abc=1$, можно выразить $a=\frac{1}{bc}$. Подставим это в первое слагаемое левой части:

$\frac{1}{a(b^3 + c^3)} = \frac{1}{\frac{1}{bc}(b^3 + c^3)} = \frac{bc}{b^3 + c^3}$

Аналогично, используя $b=\frac{1}{ac}$ и $c=\frac{1}{ab}$, преобразуем два других слагаемых:

$\frac{1}{b(c^3 + a^3)} = \frac{ac}{c^3 + a^3}$

$\frac{1}{c(a^3 + b^3)} = \frac{ab}{a^3 + b^3}$

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему:

$\frac{bc}{b^3 + c^3} + \frac{ac}{c^3 + a^3} + \frac{ab}{a^3 + b^3} \le \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}$

Теперь докажем, что каждое слагаемое в левой части не превосходит одного из слагаемых в правой. Рассмотрим слагаемое $\frac{bc}{b^3 + c^3}$.

Знаменатель можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $b^3 + c^3 = (b+c)(b^2 - bc + c^2)$.

Для любых положительных $b$ и $c$ справедливо неравенство $b^2 - bc + c^2 \ge bc$. Это следует из очевидного неравенства $(b-c)^2 \ge 0$, так как $b^2 - bc + c^2 = b^2 - 2bc + c^2 + bc = (b-c)^2 + bc$.

Поскольку по условию $b>0$ и $c>0$, то $b+c>0$. Мы можем умножить обе части неравенства $b^2 - bc + c^2 \ge bc$ на $b+c$:

$(b+c)(b^2 - bc + c^2) \ge (b+c)bc$

Левая часть этого выражения равна $b^3 + c^3$, следовательно:

$b^3 + c^3 \ge bc(b+c)$

Так как все члены неравенства положительны, мы можем взять обратные величины от обеих частей, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{b^3 + c^3} \le \frac{1}{bc(b+c)}$

Умножим обе части на положительное число $bc$:

$\frac{bc}{b^3 + c^3} \le \frac{1}{b+c}$

Мы доказали, что одно из слагаемых преобразованной левой части не превосходит слагаемого $\frac{1}{b+c}$ из правой части. Аналогичным образом доказываются еще два неравенства для других пар переменных:

$\frac{ac}{c^3 + a^3} \le \frac{1}{c+a}$

$\frac{ab}{a^3 + b^3} \le \frac{1}{a+b}$

Сложив эти три неравенства почленно, мы получаем:

$\frac{bc}{b^3 + c^3} + \frac{ac}{c^3 + a^3} + \frac{ab}{a^3 + b^3} \le \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b}$

Это неравенство является эквивалентным исходному, что и завершает доказательство.

Ответ: Что и требовалось доказать.