Номер 14, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 14, страница 189.

Условие.

14. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то

$\frac{1}{a^3+b^3+abc} + \frac{1}{b^3+c^3+abc} + \frac{1}{c^3+a^3+abc} \le \frac{1}{abc}$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся вспомогательным неравенством. Для любых положительных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $x^3 + y^3 \ge xy(x+y)$.

Докажем его. Преобразуем разность левой и правой частей:

$x^3 + y^3 - xy(x+y) = x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 = x^2(x-y) - y^2(x-y) = (x^2-y^2)(x-y) = (x-y)(x+y)(x-y) = (x-y)^2(x+y)$.

Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, то $x+y > 0$. Выражение $(x-y)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-y)^2 \ge 0$. Следовательно, произведение $(x-y)^2(x+y)$ также неотрицательно. Таким образом, $x^3 + y^3 - xy(x+y) \ge 0$, что равносильно $x^3 + y^3 \ge xy(x+y)$. Неравенство доказано.

Теперь применим это неравенство к знаменателям каждой из дробей в левой части исходного неравенства.

Для первого слагаемого:

$a^3 + b^3 \ge ab(a+b)$.

Прибавим к обеим частям $abc$:

$a^3 + b^3 + abc \ge ab(a+b) + abc = ab(a+b+c)$.

Так как обе части неравенства положительны (поскольку $a, b, c > 0$), можно взять обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} \le \frac{1}{ab(a+b+c)}$.

Аналогично для двух других слагаемых, циклически переставляя переменные $a, b, c$:

$\frac{1}{b^3 + c^3 + abc} \le \frac{1}{bc(b+c+a)} = \frac{1}{bc(a+b+c)}$.

$\frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \le \frac{1}{ca(c+a+b)} = \frac{1}{ca(a+b+c)}$.

Сложим полученные три неравенства:

$\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \le \frac{1}{ab(a+b+c)} + \frac{1}{bc(a+b+c)} + \frac{1}{ca(a+b+c)}$.

Преобразуем правую часть полученного неравенства:

$\frac{1}{ab(a+b+c)} + \frac{1}{bc(a+b+c)} + \frac{1}{ca(a+b+c)} = \frac{1}{a+b+c} \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{a+b+c} \left( \frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} \right) = \frac{1}{a+b+c} \cdot \frac{a+b+c}{abc} = \frac{1}{abc}$.

Таким образом, мы показали, что исходное неравенство верно:

$\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \le \frac{1}{abc}$.

Ответ: Неравенство доказано.