Номер 20, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 20, страница 190.

Условие.

20. Докажите неравенство $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$, где $n \in N$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом сравнения. Мы покажем, что каждый член суммы $\frac{1}{\sqrt{k}}$ (кроме первого) меньше разности $2\sqrt{k} - 2\sqrt{k-1}$, что позволит нам оценить всю сумму.

Рассмотрим вспомогательное неравенство для любого натурального $k \ge 1$:

$\frac{1}{\sqrt{k}} < 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$

Для доказательства этого неравенства преобразуем его правую часть, умножив и разделив на сопряженное выражение $(\sqrt{k} + \sqrt{k-1})$:

$2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1}) = 2 \cdot \frac{(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})(\sqrt{k} + \sqrt{k-1})}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}} = \frac{2(k - (k-1))}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}} = \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}}$

Теперь наше вспомогательное неравенство принимает вид:

$\frac{1}{\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем преобразовать его к эквивалентному виду:

$\sqrt{k} + \sqrt{k-1} < 2\sqrt{k}$

Вычтем $\sqrt{k}$ из обеих частей:

$\sqrt{k-1} < \sqrt{k}$

Это неравенство верно для любого натурального $k > 1$, так как функция $y=\sqrt{x}$ является строго возрастающей. Для $k=1$ неравенство принимает вид $\sqrt{0} < \sqrt{1}$, то есть $0 < 1$, что также верно. Таким образом, вспомогательное неравенство $\frac{1}{\sqrt{k}} < 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$ доказано для всех $k \in \mathbb{N}$.

Теперь применим это неравенство к каждому слагаемому в исходной сумме $S_n = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}$:

$\frac{1}{\sqrt{1}} < 2(\sqrt{1} - \sqrt{0})$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < 2(\sqrt{2} - \sqrt{1})$

$\frac{1}{\sqrt{3}} < 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

...

$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$

Сложив все эти неравенства, получим:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < \sum_{k=1}^{n} 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$

Сумма в правой части является телескопической:

$\sum_{k=1}^{n} 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1}) = 2 [(\sqrt{1} - \sqrt{0}) + (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})]$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$= 2 [-\sqrt{0} + (\sqrt{1} - \sqrt{1}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n-1} - \sqrt{n-1}) + \sqrt{n}] = 2(0 + \sqrt{n}) = 2\sqrt{n}$

Таким образом, мы доказали, что:

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.