Номер 15, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 15, страница 189.

Условие.

15. Докажите, что если $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ и $a + b + c = 1$, то:

$a (b^3 + c^3) + b (c^3 + a^3) + c (a^3 + b^3) \ge 2abc.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся известным неравенством для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$: $x^3 + y^3 \ge xy(x+y)$.

Докажем это вспомогательное неравенство. Преобразуем разность левой и правой частей: $x^3 + y^3 - xy(x+y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) - xy(x+y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2 - xy) = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2) = (x+y)(x-y)^2$.

Так как по условию числа неотрицательные, то $x+y \ge 0$. Квадрат любого действительного числа также неотрицателен, то есть $(x-y)^2 \ge 0$. Следовательно, произведение $(x+y)(x-y)^2 \ge 0$, что доказывает неравенство $x^3 + y^3 \ge xy(x+y)$.

Применим это неравенство для пар переменных $(b, c)$, $(c, a)$ и $(a, b)$, которые по условию задачи являются неотрицательными:

1) Для пары $(b, c)$: $b^3 + c^3 \ge bc(b+c)$.
2) Для пары $(c, a)$: $c^3 + a^3 \ge ca(c+a)$.
3) Для пары $(a, b)$: $a^3 + b^3 \ge ab(a+b)$.

Теперь умножим первое неравенство на $a$, второе на $b$, а третье на $c$. Так как $a, b, c \ge 0$, знаки неравенств сохранятся:

1) $a(b^3 + c^3) \ge a(bc(b+c)) = abc(b+c)$
2) $b(c^3 + a^3) \ge b(ca(c+a)) = abc(c+a)$
3) $c(a^3 + b^3) \ge c(ab(a+b)) = abc(a+b)$

Сложим левые и правые части этих трех неравенств: $a(b^3 + c^3) + b(c^3 + a^3) + c(a^3 + b^3) \ge abc(b+c) + abc(c+a) + abc(a+b)$.

Преобразуем правую часть полученного неравенства: $abc(b+c) + abc(c+a) + abc(a+b) = abc((b+c) + (c+a) + (a+b)) = abc(2a + 2b + 2c) = 2abc(a+b+c)$.

По условию задачи $a+b+c = 1$. Подставим это значение в правую часть: $2abc(a+b+c) = 2abc(1) = 2abc$.

Таким образом, мы доказали, что: $a(b^3 + c^3) + b(c^3 + a^3) + c(a^3 + b^3) \ge 2abc$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.