Номер 5, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 5, страница 189.

Условие.

5. Известно, что $a > 0, b > 0, c > 0$. Докажите неравенство:

$\frac{a^2}{b+2c} + \frac{b^2}{c+2a} + \frac{c^2}{a+2b} \ge \frac{a+b+c}{3}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца в форме Энгеля (также известным как лемма Титу). Оно гласит, что для любых действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и положительных чисел $y_1, y_2, \dots, y_n$ справедливо:

$$ \frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \ge \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^2}{y_1+y_2+\dots+y_n} $$

Применим это неравенство к левой части исходного неравенства. Положим $x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c$ и $y_1 = b+2c, y_2 = c+2a, y_3 = a+2b$. Так как по условию $a > 0, b > 0, c > 0$, то знаменатели $y_1, y_2, y_3$ также положительны. В результате применения неравенства получаем:

$$ \frac{a^2}{b+2c} + \frac{b^2}{c+2a} + \frac{c^2}{a+2b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(b+2c) + (c+2a) + (a+2b)} $$

Теперь упростим выражение в знаменателе правой части:

$$ (b+2c) + (c+2a) + (a+2b) = 3a+3b+3c = 3(a+b+c) $$

Подставив это в наше неравенство, получим:

$$ \frac{a^2}{b+2c} + \frac{b^2}{c+2a} + \frac{c^2}{a+2b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)} $$

Поскольку $a, b, c > 0$, их сумма $a+b+c$ также больше нуля, и мы можем сократить дробь в правой части на $a+b+c$:

$$ \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{3} $$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного неравенства больше или равна правой части:

$$ \frac{a^2}{b+2c} + \frac{b^2}{c+2a} + \frac{c^2}{a+2b} \ge \frac{a+b+c}{3} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.