Номер 18.68, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.68, страница 184.

Условие.

18.68. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ дробь $\frac{12n+1}{30n+2}$ является несократимой.

Решение.

Для того чтобы доказать, что дробь является несократимой, необходимо показать, что её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В данном случае нам нужно доказать, что $\text{НОД}(12n + 1, 30n + 2) = 1$ для любого натурального числа $n$.

Пусть $d$ — это наибольший общий делитель числителя $12n + 1$ и знаменателя $30n + 2$. По определению, это означает, что и числитель, и знаменатель делятся на $d$ без остатка.

Воспользуемся свойством делимости: если два числа делятся на некоторое число $d$, то их любая линейная комбинация также делится на $d$. Подберем коэффициенты для линейной комбинации так, чтобы исключить переменную $n$. Для этого умножим числитель и знаменатель на такие числа, чтобы коэффициенты при $n$ стали одинаковыми. Наименьшее общее кратное чисел 12 и 30 равно 60.

Умножим выражение $12n + 1$ на 5 и выражение $30n + 2$ на 2:
1) $5 \cdot (12n + 1) = 60n + 5$. Так как $12n + 1$ делится на $d$, то и $60n + 5$ делится на $d$.
2) $2 \cdot (30n + 2) = 60n + 4$. Так как $30n + 2$ делится на $d$, то и $60n + 4$ делится на $d$.

Поскольку оба полученных выражения, $60n + 5$ и $60n + 4$, делятся на $d$, их разность также должна делиться на $d$:
$(60n + 5) - (60n + 4) = 60n + 5 - 60n - 4 = 1$.

Мы получили, что 1 делится на $d$. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, наибольший общий делитель $d$ равен 1.

Так как $\text{НОД}(12n + 1, 30n + 2) = 1$ при любом натуральном значении $n$, то числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Это означает, что дробь $\frac{12n + 1}{30n + 2}$ является несократимой.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном значении $n$ дробь является несократимой.