Номер 18.65, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.65, страница 184.

Условие.

18.65. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$, то

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{64}{a+b+c+d}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского в форме Энгеля (также известным как лемма Титу). Для любых действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и положительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ справедливо неравенство:

$$ \frac{x_1^2}{a_1} + \frac{x_2^2}{a_2} + \dots + \frac{x_n^2}{a_n} \ge \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^2}{a_1+a_2+\dots+a_n} $$

Преобразуем левую часть исходного неравенства, чтобы она соответствовала форме, необходимой для применения леммы:

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} = \frac{1^2}{a} + \frac{1^2}{b} + \frac{2^2}{c} + \frac{4^2}{d} $$

Применим неравенство для $n=4$, положив $x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 2, x_4 = 4$ и $a_1 = a, a_2 = b, a_3 = c, a_4 = d$. Так как по условию $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$, условия для применения неравенства выполнены. Получаем:

$$ \frac{1^2}{a} + \frac{1^2}{b} + \frac{2^2}{c} + \frac{4^2}{d} \ge \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d} $$

Вычислив выражение в числителе правой части, приходим к требуемому неравенству:

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \ge \frac{8^2}{a+b+c+d} = \frac{64}{a+b+c+d} $$

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.