Номер 18.59, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.59, страница 183.

Условие.

18.59. Известно, что $a > 0, b > 0$ и $a + b = 1$. Докажите, что

$\left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{a}\right)^{2} \geqslant \frac{25}{2}$.

Решение.

Для доказательства неравенства преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$\left(a + \frac{1}{b}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a^2 + \frac{2a}{b} + \frac{1}{b^2}\right) + \left(b^2 + \frac{2b}{a} + \frac{1}{a^2}\right)$

Сгруппируем слагаемые для удобства дальнейшего анализа:

$ (a^2 + b^2) + \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) + 2\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) $

Теперь оценим значение каждой группы слагаемых по отдельности, используя условие $a > 0$, $b > 0$, $a+b=1$ и известные неравенства.

1. Оценим сумму $a^2 + b^2$.
Из неравенства между средним квадратичным и средним арифметическим (которое следует из очевидного неравенства $(a-b)^2 \ge 0$) имеем $a^2 + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}$. Подставив $a+b=1$, получаем:

$a^2 + b^2 \ge \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$

2. Оценим сумму взаимно обратных величин $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.
По неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$

3. Оценим сумму $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
Аналогично первой оценке, $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)^2$. Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{ab}$

Теперь найдем максимальное значение произведения $ab$. По неравенству Коши, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, откуда $\frac{1}{2} \ge \sqrt{ab}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $ab \le \frac{1}{4}$.
Следовательно, для обратной величины имеем $\frac{1}{ab} \ge 4$, а для ее квадрата $\left(\frac{1}{ab}\right)^2 \ge 16$.
Тогда для суммы $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ получаем следующую оценку снизу:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab}\right)^2 \ge \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

4. Теперь объединим все полученные оценки в исходном выражении:

$ (a^2 + b^2) + \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) + 2\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \ge \frac{1}{2} + 8 + 2 \cdot 2 = \frac{1}{2} + 8 + 4 = 12.5 = \frac{25}{2} $

Таким образом, доказано, что $\left(a + \frac{1}{b}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 \ge \frac{25}{2}$.
Равенство в данном неравенстве достигается тогда, когда во всех использованных неравенствах достигается равенство, что происходит при $a=b$. Учитывая условие $a+b=1$, находим, что это возможно при $a=b=\frac{1}{2}$.

Ответ: Неравенство доказано.