Номер 18.58, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.58, страница 183.

Условие.

18.58. Докажите, что если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то $(a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}} \geq a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.

Решение.

Для доказательства неравенства $(a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}} \ge a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$ при условиях $a \ge 0$ и $b \ge 0$ мы будем использовать метод равносильных преобразований.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны при $a \ge 0$ и $b \ge 0$, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится. Если $a=b=0$, то неравенство превращается в $0 \ge 0$, что является верным. Рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел не равно нулю.

Возведем в квадрат левую часть неравенства:
$L^2 = \left((a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}}\right)^2 = (a+b)^2 \cdot \frac{a+b}{2} = \frac{(a+b)^3}{2}$

Возведем в квадрат правую часть неравенства:
$P^2 = (a\sqrt{b} + b\sqrt{a})^2 = (a\sqrt{b})^2 + 2(a\sqrt{b})(b\sqrt{a}) + (b\sqrt{a})^2 = a^2b + 2ab\sqrt{ab} + b^2a = ab(a+b+2\sqrt{ab})$

Теперь докажем полученное неравенство:
$\frac{(a+b)^3}{2} \ge ab(a+b+2\sqrt{ab})$
Умножим обе части на 2:
$(a+b)^3 \ge 2ab(a+b+2\sqrt{ab})$
Раскроем скобки и перенесем слагаемые:
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \ge 2a^2b + 2ab^2 + 4ab\sqrt{ab}$
$a^3 + 3a^2b - 2a^2b + 3ab^2 - 2ab^2 + b^3 \ge 4ab\sqrt{ab}$
$a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 \ge 4(ab)^{3/2}$

Сгруппируем слагаемые в левой части:
$a^2(a+b) + b^2(a+b) = (a^2+b^2)(a+b)$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$(a^2+b^2)(a+b) \ge 4(ab)^{3/2}$

Для доказательства этого неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши), которое для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ имеет вид $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Применим это неравенство дважды:
1. Для чисел $a$ и $b$: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
2. Для чисел $a^2$ и $b^2$: $a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab$

Поскольку все части полученных неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:
$(a^2+b^2)(a+b) \ge (2ab)(2\sqrt{ab})$
$(a^2+b^2)(a+b) \ge 4ab\sqrt{ab}$
$(a^2+b^2)(a+b) \ge 4(ab)^{3/2}$

Мы получили верное неравенство. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также является верным. Равенство достигается в том случае, когда оно достигается в обоих примененных неравенствах Коши, то есть при $a=b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.