Номер 18.51, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.51, страница 183.

Условие.

18.51. Докажите неравенство $\sqrt{2a+5} + \sqrt{a-3} + \sqrt{25-3a} < 9.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• $2a + 5 \ge 0 \implies 2a \ge -5 \implies a \ge -2.5$
• $a - 3 \ge 0 \implies a \ge 3$
• $25 - 3a \ge 0 \implies 25 \ge 3a \implies a \le \frac{25}{3}$

Объединяя все три условия, получаем ОДЗ: $a \in [3; \frac{25}{3}]$.

Теперь воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца для двух наборов чисел $(x_1, x_2, x_3)$ и $(y_1, y_2, y_3)$, которое гласит:

$(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \le (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)$

Представим левую часть исходного неравенства в виде скалярного произведения векторов. Пусть:

• $x_1 = 1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 1$
• $y_1 = \sqrt{2a+5}$, $y_2 = \sqrt{a-3}$, $y_3 = \sqrt{25-3a}$

Тогда, согласно неравенству Коши-Буняковского-Шварца:

$(1 \cdot \sqrt{2a+5} + 1 \cdot \sqrt{a-3} + 1 \cdot \sqrt{25-3a})^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)((\sqrt{2a+5})^2 + (\sqrt{a-3})^2 + (\sqrt{25-3a})^2)$

Вычислим правую часть этого неравенства:

$(1+1+1) \cdot ((2a+5) + (a-3) + (25-3a)) = 3 \cdot (2a+a-3a + 5-3+25) = 3 \cdot (0 \cdot a + 27) = 3 \cdot 27 = 81$

Таким образом, мы получили:

$(\sqrt{2a+5} + \sqrt{a-3} + \sqrt{25-3a})^2 \le 81$

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (так как сумма корней всегда неотрицательна), получаем:

$\sqrt{2a+5} + \sqrt{a-3} + \sqrt{25-3a} \le 9$

Теперь нужно показать, что неравенство является строгим, то есть равенство $\sqrt{2a+5} + \sqrt{a-3} + \sqrt{25-3a} = 9$ не достигается. Равенство в неравенстве Коши-Буняковского-Шварца достигается тогда и только тогда, когда соответствующие компоненты наборов пропорциональны:

$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3}$

В нашем случае это означает:

$\frac{\sqrt{2a+5}}{1} = \frac{\sqrt{a-3}}{1} = \frac{\sqrt{25-3a}}{1}$

Проверим, возможно ли выполнение этих равенств одновременно. Приравняем первые два выражения:

$\sqrt{2a+5} = \sqrt{a-3}$

$2a+5 = a-3$

$a = -8$

Это значение не принадлежит ОДЗ $a \in [3; \frac{25}{3}]$.

Приравняем второе и третье выражения:

$\sqrt{a-3} = \sqrt{25-3a}$

$a-3 = 25-3a$

$4a = 28$

$a = 7$

Это значение принадлежит ОДЗ. Однако, при $a=7$ первые два выражения не равны: $\sqrt{2(7)+5} = \sqrt{19}$ и $\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$. Так как $\sqrt{19} \neq 2$, условие пропорциональности не выполняется.

Поскольку не существует такого значения $a$ из ОДЗ, при котором достигалось бы равенство, то неравенство всегда является строгим.

Следовательно, $\sqrt{2a+5} + \sqrt{a-3} + \sqrt{25-3a} < 9$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.