Номер 18.57, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.57, страница 183.

Условие.

18.57. Докажите, что если $a > 1$ и $b > 1$, то $\frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 4.$

Решение.

Для доказательства неравенства $\frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 4$ при $a > 1$ и $b > 1$ выполним замену переменных.

Шаг 1: Замена переменных.
Пусть $x = \sqrt{a-1}$ и $y = \sqrt{b-1}$.
Поскольку по условию $a > 1$ и $b > 1$, то $x > 0$ и $y > 0$.
Из этих равенств выразим $a$ и $b$ через $x$ и $y$:
$x^2 = a-1 \Rightarrow a = x^2 + 1$
$y^2 = b-1 \Rightarrow b = y^2 + 1$

Шаг 2: Преобразование исходного неравенства.
Подставим полученные выражения для $a$ и $b$ в левую часть доказываемого неравенства:
$\frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} = \frac{x^2+1}{y} + \frac{y^2+1}{x}$
Таким образом, задача сводится к доказательству следующего неравенства для любых $x > 0$ и $y > 0$: $\frac{x^2+1}{y} + \frac{y^2+1}{x} \ge 4$

Шаг 3: Применение неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши).
Преобразуем левую часть, раскрыв дроби: $\frac{x^2}{y} + \frac{1}{y} + \frac{y^2}{x} + \frac{1}{x}$
Мы получили сумму четырех положительных слагаемых. Для таких слагаемых справедливо неравенство Коши, которое гласит, что их сумма не меньше, чем их учетверенное среднее геометрическое: $c_1+c_2+c_3+c_4 \ge 4\sqrt[4]{c_1 c_2 c_3 c_4}$.
Применим это неравенство к нашим слагаемым: $\frac{x^2}{y} + \frac{1}{y} + \frac{y^2}{x} + \frac{1}{x} \ge 4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{1}{x}}$

Шаг 4: Упрощение и завершение доказательства.
Вычислим произведение под знаком корня: $\frac{x^2}{y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2 y^2}{y^2 x^2} = 1$
Таким образом, правая часть неравенства равна $4\sqrt[4]{1} = 4$.
Следовательно, мы доказали, что: $\frac{x^2}{y} + \frac{1}{y} + \frac{y^2}{x} + \frac{1}{x} \ge 4$
Это означает, что и исходное неравенство $\frac{a}{\sqrt{b-1}} + \frac{b}{\sqrt{a-1}} \ge 4$ является верным.
Равенство в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны между собой: $\frac{x^2}{y} = \frac{1}{y} = \frac{y^2}{x} = \frac{1}{x}$.
Из равенства $\frac{x^2}{y} = \frac{1}{y}$ следует $x^2=1$. Так как $x>0$, то $x=1$.
Из равенства $\frac{y^2}{x} = \frac{1}{x}$ следует $y^2=1$. Так как $y>0$, то $y=1$.
Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $a = x^2+1 = 1^2+1 = 2$
$b = y^2+1 = 1^2+1 = 2$
Значит, равенство в исходном неравенстве достигается при $a=b=2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.