Номер 18.50, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.50, страница 183.

Условие.

18.50. Докажите, что если $a+b+c=3$, то $\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1} \leq 6$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Йенсена. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{3x+1}$. Область определения этой функции: $3x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$.

Для применения неравенства Йенсена необходимо определить характер выпуклости функции, для чего найдем ее вторую производную.

Первая производная:

$f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = ((3x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

Вторая производная:

$f''(x) = \left(\frac{3}{2}(3x+1)^{-1/2}\right)' = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(3x+1)^{-3/2} \cdot (3x+1)' = -\frac{3}{4}(3x+1)^{-3/2} \cdot 3 = -\frac{9}{4\sqrt{(3x+1)^3}}$

Поскольку для всех $x$ из области определения, где $3x+1 > 0$, знаменатель дроби положителен, то $f''(x) < 0$. Это означает, что функция $f(x) = \sqrt{3x+1}$ является вогнутой (выпуклой вверх) на всей своей области определения.

Для вогнутой функции справедливо неравенство Йенсена:

$\frac{f(a) + f(b) + f(c)}{3} \le f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)$

Подставим нашу функцию $f(x)$ в это неравенство:

$\frac{\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1}}{3} \le \sqrt{3\left(\frac{a+b+c}{3}\right) + 1}$

По условию задачи $a+b+c=3$. Подставим это значение в правую часть неравенства:

$\frac{\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1}}{3} \le \sqrt{3\left(\frac{3}{3}\right) + 1}$

$\frac{\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1}}{3} \le \sqrt{3(1) + 1}$

$\frac{\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1}}{3} \le \sqrt{4}$

$\frac{\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1}}{3} \le 2$

Умножим обе части неравенства на 3:

$\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1} + \sqrt{3c+1} \le 6$

Что и требовалось доказать. Равенство в неравенстве Йенсена для строго вогнутых функций достигается тогда и только тогда, когда $a=b=c$. Учитывая условие $a+b+c=3$, получаем, что равенство достигается при $a=b=c=1$.

Ответ: Неравенство доказано.