Номер 18.45, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.45, страница 183.

Условие.

18.45. Найдите наименьшее значение выражения $a^2 + b^2$, если $5a - 12b = 13$.

Решение.

Данную задачу можно решить несколькими способами. Наиболее наглядным является геометрический метод.

Рассмотрим выражение $a^2 + b^2$. В декартовой системе координат это выражение представляет собой квадрат расстояния от начала координат, точки $O(0, 0)$, до точки $M(a, b)$. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда $d^2 = a^2 + b^2$. Наша задача — найти наименьшее возможное значение для $d^2$.

Условие $5a - 12b = 13$ является уравнением прямой линии на координатной плоскости $ab$. Таким образом, точка $M(a, b)$ должна лежать на этой прямой.

Задача сводится к нахождению квадрата наименьшего расстояния от начала координат до прямой $5a - 12b = 13$. Наименьшее расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Для нахождения расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной в общем виде $Ax + By + C = 0$, используется формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае уравнение прямой можно записать как $5a - 12b - 13 = 0$. Следовательно, коэффициенты равны $A=5$, $B=-12$, $C=-13$. Точка, от которой мы ищем расстояние, — это начало координат $(a_0, b_0) = (0, 0)$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления наименьшего расстояния $d_{min}$:

$d_{min} = \frac{|5 \cdot 0 - 12 \cdot 0 - 13|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-13|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{13}{\sqrt{169}} = \frac{13}{13} = 1$

Мы нашли, что наименьшее расстояние от точки на прямой до начала координат равно 1.

Поскольку мы ищем наименьшее значение выражения $a^2 + b^2$, которое равно квадрату этого расстояния ($d^2$), то:

$(a^2 + b^2)_{min} = d_{min}^2 = 1^2 = 1$

Ответ: 1