Номер 18.38, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.38, страница 182.

Условие.

18.38. Докажите, что если $a^4 + b^4 = 2$, то $|a + b| \le 2$.

Решение.

Нам дано, что $a^4 + b^4 = 2$. Требуется доказать, что $|a + b| \le 2$.

Доказательство этого неравенства равносильно доказательству неравенства $(a+b)^2 \le 4$. Будем использовать известное неравенство, которое следует из того, что квадрат любого действительного числа неотрицателен: $(x-y)^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 + y^2 \ge 2xy$.

Шаг 1: Оценка для выражения $a^2+b^2$

Рассмотрим квадрат суммы $a^2$ и $b^2$:

$(a^2+b^2)^2 = (a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2$.

Теперь применим неравенство $x^2+y^2 \ge 2xy$ для $x=a^2$ и $y=b^2$. Получим:

$(a^2)^2 + (b^2)^2 \ge 2a^2b^2 \implies a^4 + b^4 \ge 2a^2b^2$.

Подставим эту оценку в выражение для $(a^2+b^2)^2$:

$(a^2+b^2)^2 = a^4+b^4+2a^2b^2 \le (a^4+b^4) + (a^4+b^4) = 2(a^4+b^4)$.

По условию задачи $a^4+b^4=2$. Подставим это значение:

$(a^2+b^2)^2 \le 2 \cdot 2 = 4$.

Так как $a^2+b^2$ — неотрицательная величина, можно извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, получив:

$a^2+b^2 \le 2$.

Шаг 2: Оценка для выражения $(a+b)^2$

Рассмотрим квадрат суммы $a$ и $b$:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = (a^2+b^2)+2ab$.

Применим неравенство $x^2+y^2 \ge 2xy$ для $x=a$ и $y=b$. Получим:

$a^2+b^2 \ge 2ab$.

Подставим эту оценку в выражение для $(a+b)^2$:

$(a+b)^2 = (a^2+b^2)+2ab \le (a^2+b^2) + (a^2+b^2) = 2(a^2+b^2)$.

На первом шаге мы установили, что $a^2+b^2 \le 2$. Используем этот результат:

$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) \le 2 \cdot 2 = 4$.

Итак, мы доказали, что $(a+b)^2 \le 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$\sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{4}$

$|a+b| \le 2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.