Номер 18.35, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.35, страница 182.

Условие.

18.35. Известно, что $|a| \leq 1$ и $|b| \leq 1$. Докажите неравенство $ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \leq 1$.

Решение.

Для доказательства неравенства $ab + \sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)} \le 1$ при условиях $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$ воспользуемся методом алгебраических преобразований.

Сначала отметим, что условия $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$ гарантируют, что $a^2 \le 1$ и $b^2 \le 1$. Следовательно, выражения под корнем $1 - a^2$ и $1 - b^2$ являются неотрицательными, и левая часть неравенства определена для действительных чисел.

Перенесём слагаемое $ab$ из левой части неравенства в правую: $\sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)} \le 1 - ab$.

Чтобы возвести обе части в квадрат, необходимо убедиться в их неотрицательности. Левая часть, $\sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)}$, является арифметическим квадратным корнем, поэтому она по определению неотрицательна. Рассмотрим правую часть, $1 - ab$. Из условий $|a| \le 1$ и $|b| \le 1$ следует, что $|ab| = |a| \cdot |b| \le 1 \cdot 1 = 1$. Это равносильно неравенству $-1 \le ab \le 1$. Тогда $1 - ab \ge 1 - 1 = 0$. Таким образом, правая часть также неотрицательна.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)})^2 \le (1 - ab)^2$ $(1 - a^2)(1 - b^2) \le 1 - 2ab + a^2b^2$

Раскроем скобки в левой части: $1 - b^2 - a^2 + a^2b^2 \le 1 - 2ab + a^2b^2$

Упростим полученное неравенство, вычтя из обеих частей $1$ и $a^2b^2$: $-a^2 - b^2 \le -2ab$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $a^2 + b^2 \ge 2ab$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой формулу квадрата разности: $(a - b)^2 \ge 0$

Это неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все выполненные преобразования были равносильными (с учётом проверки знаков), исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.