Номер 18.42, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.42, страница 182.

Условие.

18.42. Известно, что $a_1 + a_2 + \dots + a_n = n$. Докажите, что $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 \ge n$.

Решение.

18.42. Для доказательства неравенства $a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 \ge n$ при условии, что $a_1 + a_2 + ... + a_n = n$, воспользуемся алгебраическим методом.

Рассмотрим сумму квадратов выражений $(a_i - 1)$ для всех $i$ от 1 до $n$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю), сумма таких квадратов также будет неотрицательной:

$\sum_{i=1}^{n} (a_i - 1)^2 \ge 0$

Раскроем скобки для каждого слагаемого, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\sum_{i=1}^{n} (a_i^2 - 2a_i + 1) \ge 0$

Используя свойство дистрибутивности суммы, мы можем разбить это выражение на три отдельные суммы:

$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 - \sum_{i=1}^{n} 2a_i + \sum_{i=1}^{n} 1 \ge 0$

Вынесем константу 2 за знак второй суммы:

$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 - 2\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} 1 \ge 0$

Теперь воспользуемся условием, данным в задаче. Нам известно, что сумма всех $a_i$ равна $n$:

$\sum_{i=1}^{n} a_i = n$

Также, третья сумма представляет собой сложение $n$ единиц, что равно $n$:

$\sum_{i=1}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{n \text{ раз}} = n$

Подставим эти значения в наше неравенство:

$(\sum_{i=1}^{n} a_i^2) - 2(n) + n \ge 0$

Упростим левую часть полученного выражения:

$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 - n \ge 0$

Перенеся $-n$ в правую часть неравенства, мы получаем искомое выражение:

$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \ge n$

Что и требовалось доказать. Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда равенство достигается в исходном неравенстве $\sum_{i=1}^{n} (a_i - 1)^2 \ge 0$. Это происходит, когда каждое слагаемое равно нулю, то есть $a_i - 1 = 0$ для всех $i$. Следовательно, равенство имеет место при $a_1 = a_2 = ... = a_n = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.