Номер 18.36, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.36, страница 182.

Условие.

18.36. Известно, что $a + b = 1$. Докажите, что $a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}$.

Решение.

Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}$ при условии $a + b = 1$ можно использовать несколько способов.

Способ 1 (метод подстановки)

Из условия $a + b = 1$ выразим переменную $b$ через $a$: $b = 1 - a$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого неравенства:$a^2 + b^2 = a^2 + (1 - a)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:$a^2 + (1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 2a + 1$
Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства:$2a^2 - 2a + 1 \ge \frac{1}{2}$
Перенесём все слагаемые в левую часть:$2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} \ge 0$
$2a^2 - 2a + \frac{1}{2} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится, так как $2 > 0$):$4a^2 - 4a + 1 \ge 0$
Левая часть представляет собой полный квадрат разности:$(2a - 1)^2 \ge 0$
Данное неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}$ верно.

Способ 2 (использование тождеств)

Рассмотрим известное тождество для суммы квадратов: $2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы можем утверждать, что $(a - b)^2 \ge 0$.
Следовательно, из тождества следует неравенство:$2(a^2 + b^2) \ge (a + b)^2$
Теперь воспользуемся условием задачи, $a + b = 1$. Подставим это значение в наше неравенство:$2(a^2 + b^2) \ge 1^2$
$2(a^2 + b^2) \ge 1$
Разделив обе части неравенства на 2, получаем:$a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.