Номер 18.37, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.37, страница 182.

Условие.

18.37. Известно, что $a + b = 2$. Докажите, что $a^4 + b^4 \ge 2$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства введем замену переменных, которая учитывает условие $a+b=2$. Пусть $a = 1+x$ и $b = 1-x$ для некоторого действительного числа $x$. Проверим, выполняется ли условие: $a+b = (1+x) + (1-x) = 2$. Условие выполняется. Такая замена позволяет свести задачу к анализу выражения с одной переменной $x$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в левую часть неравенства, которое нужно доказать: $a^4+b^4 = (1+x)^4 + (1-x)^4$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для раскрытия скобок. Для $(1+x)^4$ имеем: $(1+x)^4 = 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot x + 6 \cdot 1^2 \cdot x^2 + 4 \cdot 1 \cdot x^3 + x^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. Для $(1-x)^4$ имеем: $(1-x)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3 \cdot x + 6 \cdot 1^2 \cdot x^2 - 4 \cdot 1 \cdot x^3 + x^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$.

Сложим два полученных выражения: $a^4+b^4 = (1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4) + (1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4)$. При сложении все слагаемые с нечетными степенями $x$ взаимно уничтожаются: $a^4+b^4 = (1+1) + (4x-4x) + (6x^2+6x^2) + (4x^3-4x^3) + (x^4+x^4) = 2 + 12x^2 + 2x^4$.

Таким образом, исходное неравенство $a^4+b^4 \ge 2$ эквивалентно неравенству: $2 + 12x^2 + 2x^4 \ge 2$.

Вычтем 2 из обеих частей неравенства: $12x^2 + 2x^4 \ge 0$.

Это неравенство очевидно верно для любого действительного числа $x$, поскольку: Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $x^2 \ge 0$. Четвертая степень любого действительного числа также неотрицательна: $x^4 \ge 0$. Следовательно, $12x^2 \ge 0$ и $2x^4 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных величин всегда неотрицательна.

Таким образом, неравенство $a^4+b^4 \ge 2$ доказано. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $12x^2 + 2x^4 = 0$, что выполняется только при $x=0$. В этом случае $a = 1+0=1$ и $b=1-0=1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.