Номер 18.43, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.43, страница 182.

Условие.

18.43. Докажите, что если $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, то $|a + b + c| \le \sqrt{3}$.

Решение.

Чтобы доказать данное утверждение, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: С помощью неравенства Коши — Буняковского — Шварца

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца для двух наборов действительных чисел $(x_1, x_2, x_3)$ и $(y_1, y_2, y_3)$ имеет вид:
$(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \le (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)$

Применим это неравенство к наборам чисел $(a, b, c)$ и $(1, 1, 1)$.

Подставив эти наборы в формулу, получим:
$(a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2)$

По условию задачи $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Подставим это значение и вычислим сумму квадратов для второго набора:
$(a + b + c)^2 \le 1 \cdot (1 + 1 + 1)$
$(a + b + c)^2 \le 3$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей полученного неравенства. Учитывая, что $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(a + b + c)^2} \le \sqrt{3}$
$|a + b + c| \le \sqrt{3}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано с использованием неравенства Коши — Буняковского — Шварца.

Способ 2: Алгебраический

Рассмотрим квадрат суммы $(a + b + c)$:
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

Поскольку по условию $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, равенство принимает вид:
$(a + b + c)^2 = 1 + 2(ab + bc + ca)$

Теперь оценим сверху выражение $ab + bc + ca$. Для любых действительных чисел $a, b, c$ справедливо неравенство:
$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$
Раскрыв скобки, получим:
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \ge 0$
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$
$2(a^2 + b^2 + c^2) \ge 2(ab + bc + ca)$
$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$

Используя условие $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, мы получаем:
$1 \ge ab + bc + ca$

Теперь мы можем оценить квадрат исходной суммы:
$(a + b + c)^2 = 1 + 2(ab + bc + ca)$
Так как $ab + bc + ca \le 1$, то $2(ab + bc + ca) \le 2$. Следовательно:
$(a + b + c)^2 \le 1 + 2 = 3$

Мы получили неравенство $(a + b + c)^2 \le 3$. Извлекая из обеих частей квадратный корень, приходим к требуемому результату:
$|a + b + c| \le \sqrt{3}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано алгебраическим методом.