Номер 18.48, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.48, страница 183.

Условие.

18.48. Для положительных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ докажите, что

$(a_1 + a_2 + ... + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}\right) \ge n^2$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся известным неравенством о средних, а именно соотношением между средним арифметическим (СА) и средним гармоническим (СГ) для набора положительных чисел.

Пусть нам дан набор из $n$ положительных чисел: $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Среднее арифметическое этих чисел вычисляется по формуле:

$ СА = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} $

Среднее гармоническое этих же чисел вычисляется по формуле:

$ СГ = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} $

Неравенство о средних утверждает, что для любых положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего гармонического:

$ СА \ge СГ $

Подставим выражения для СА и СГ в это неравенство:

$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} $

Чтобы привести это неравенство к виду, который требуется доказать, выполним алгебраические преобразования. Поскольку по условию все числа $a_i$ положительны, то оба знаменателя в неравенстве также положительны. Мы можем умножить обе части неравенства на произведение $n \cdot \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right)$, которое является положительным числом, при этом знак неравенства сохранится.

В результате умножения получаем:

$ (a_1 + a_2 + \dots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right) \ge n \cdot n $

Что и дает нам требуемое неравенство:

$ (a_1 + a_2 + \dots + a_n) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right) \ge n^2 $

Стоит отметить, что равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда выполняется условие равенства в неравенстве о средних, то есть когда все числа равны между собой: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Неравенство доказано.