Номер 18.54, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.54, страница 183.

Условие.

18.54. Решите уравнение $2\sqrt{x-1} + 5x = \sqrt{(x^2+4)(x+24)}$.

Решение.

Исходное уравнение: $2\sqrt{x-1} + 5x = \sqrt{(x^2+4)(x+24)}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем в левой части должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
2. Выражение под корнем в правой части должно быть неотрицательным: $(x^2+4)(x+24) \ge 0$. Так как $x^2+4 > 0$ при любом действительном $x$, это неравенство равносильно $x+24 \ge 0$, откуда $x \ge -24$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$. При $x \ge 1$ левая часть уравнения $2\sqrt{x-1} + 5x$ положительна, что соответствует арифметическому квадратному корню в правой части.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$: $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Применим это неравенство к правой части уравнения, положив $a = x^2+4$ и $b = x+24$. Оба эти выражения положительны при $x \ge 1$.$$ \sqrt{(x^2+4)(x+24)} \le \frac{(x^2+4) + (x+24)}{2} = \frac{x^2+x+28}{2} $$Равенство в этом неравенстве достигается при условии $x^2+4 = x+24$, что приводит к квадратному уравнению $x^2-x-20=0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-20)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2}$. Получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Учитывая ОДЗ ($x \ge 1$), подходит только $x=5$. Таким образом, для правой части исходного уравнения выполняется неравенство $\sqrt{(x^2+4)(x+24)} \le \frac{x^2+x+28}{2}$, причем равенство имеет место только при $x=5$.

Теперь рассмотрим левую часть уравнения $2\sqrt{x-1} + 5x$ и сравним ее с выражением $\frac{x^2+x+28}{2}$. Рассмотрим их разность:$$ \frac{x^2+x+28}{2} - (2\sqrt{x-1} + 5x) = \frac{x^2+x+28 - 4\sqrt{x-1} - 10x}{2} = \frac{x^2-9x+28-4\sqrt{x-1}}{2} $$Чтобы исследовать знак этого выражения, сделаем замену $z = \sqrt{x-1}$, где $z \ge 0$. Тогда $x-1=z^2$, то есть $x=z^2+1$. Подставим это в числитель:$$ (z^2+1)^2 - 9(z^2+1) + 28 - 4z = (z^4+2z^2+1) - (9z^2+9) + 28 - 4z $$$$ = z^4 - 7z^2 - 4z + 20 $$Проверим, не является ли $z=2$ (что соответствует $x=5$) корнем этого многочлена:$2^4 - 7(2^2) - 4(2) + 20 = 16 - 7(4) - 8 + 20 = 16 - 28 - 8 + 20 = 0$. Так как $z=2$ является корнем, то $(z-2)$ — делитель многочлена. Проверим, не является ли корень кратным. Найдем производную: $(z^4 - 7z^2 - 4z + 20)' = 4z^3 - 14z - 4$. При $z=2$ производная равна $4(2^3) - 14(2) - 4 = 32 - 28 - 4 = 0$. Значит, $z=2$ — корень кратности как минимум 2, и многочлен делится на $(z-2)^2 = z^2-4z+4$. Выполним деление многочлена $z^4 - 7z^2 - 4z + 20$ на $z^2-4z+4$:$$ z^4 - 7z^2 - 4z + 20 = (z^2-4z+4)(z^2+4z+5) = (z-2)^2(z^2+4z+5) $$Выражение $z^2+4z+5$ имеет отрицательный дискриминант ($D=4^2-4 \cdot 5 = -4 < 0$) и положительный старший коэффициент, поэтому оно всегда положительно. Множитель $(z-2)^2$ всегда неотрицателен.Следовательно, числитель $x^2-9x+28-4\sqrt{x-1} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ. Равенство нулю достигается только при $z-2=0$, то есть $z=2$, что означает $\sqrt{x-1}=2$, откуда $x=5$. Это доказывает, что для левой части уравнения выполняется неравенство:$$ 2\sqrt{x-1} + 5x \le \frac{x^2+x+28}{2} $$причем равенство достигается только при $x=5$.

Итак, исходное уравнение $L(x) = P(x)$ можно представить в виде системы неравенств, где $L(x)$ - левая часть, $P(x)$ - правая часть:$$ L(x) \le \frac{x^2+x+28}{2} $$$$ P(x) \le \frac{x^2+x+28}{2} $$Равенство $L(x) = P(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $\frac{x^2+x+28}{2}$. Как мы показали, это происходит одновременно для обеих частей только при $x=5$. Подставим $x=5$ в исходное уравнение для проверки:Левая часть: $2\sqrt{5-1} + 5 \cdot 5 = 2\sqrt{4} + 25 = 2 \cdot 2 + 25 = 29$. Правая часть: $\sqrt{(5^2+4)(5+24)} = \sqrt{(25+4)(29)} = \sqrt{29 \cdot 29} = 29$.$29 = 29$. Равенство верное, следовательно $x=5$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $5$.