Номер 18.55, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.55, страница 183.

Условие.

18.55. Докажите, что если $x^2 + y^2 + z^2 = 44$, то $|3x - y + z| \leq 22$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца для двух наборов чисел $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, которое гласит:
$(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)$.

Выберем в качестве этих наборов $(x, y, z)$ и $(3, -1, 1)$. Применив к ним неравенство, получим:
$(x \cdot 3 + y \cdot (-1) + z \cdot 1)^2 \le (x^2 + y^2 + z^2)(3^2 + (-1)^2 + 1^2)$.

Теперь упростим полученное выражение. В левой части имеем скалярное произведение, а в правой — произведение квадратов длин векторов:
$(3x - y + z)^2 \le (x^2 + y^2 + z^2)(9 + 1 + 1)$.
$(3x - y + z)^2 \le 11(x^2 + y^2 + z^2)$.

Согласно условию задачи, нам дано, что $x^2 + y^2 + z^2 = 44$. Подставим это значение в наше неравенство:
$(3x - y + z)^2 \le 11 \cdot 44$.
$(3x - y + z)^2 \le 484$.

Для завершения доказательства извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Учитывая, что $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(3x - y + z)^2} \le \sqrt{484}$.
$|3x - y + z| \le 22$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.