Номер 18.53, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.53, страница 183.

Условие.

18.53. Решите уравнение $ \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} = x^2 + 2 $

Решение.

Данное уравнение: $\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} = x^2 + 2$.

Вначале найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$

$1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-1; 1]$.

Теперь оценим значения левой и правой частей уравнения на найденной области допустимых значений.

Рассмотрим левую часть уравнения, функцию $f(x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}$. Поскольку на ОДЗ $f(x) > 0$, мы можем возвести ее в квадрат, чтобы исследовать ее значения:

$f^2(x) = (\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x})^2 = (1 - x) + 2\sqrt{(1-x)(1+x)} + (1 + x) = 2 + 2\sqrt{1-x^2}$.

На отрезке $x \in [-1; 1]$, переменная $x^2$ принимает значения от $0$ до $1$, то есть $0 \le x^2 \le 1$.
Тогда выражение $1-x^2$ принимает значения от $0$ до $1$: $0 \le 1-x^2 \le 1$.
Соответственно, $\sqrt{1-x^2}$ принимает значения от $0$ до $1$: $0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1$.
Умножив на 2, получим: $0 \le 2\sqrt{1-x^2} \le 2$.
Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим оценку для $f^2(x)$:
$2 \le 2 + 2\sqrt{1-x^2} \le 4$, то есть $2 \le f^2(x) \le 4$.

Поскольку $f(x) > 0$, извлекая квадратный корень, получаем оценку для левой части:

$\sqrt{2} \le f(x) \le 2$.

Таким образом, наибольшее значение левой части уравнения равно 2, и оно достигается при $x=0$ (когда $1-x^2=1$).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения, функцию $g(x) = x^2 + 2$.

На отрезке $x \in [-1; 1]$ мы имеем $0 \le x^2 \le 1$.
Прибавив 2, получаем оценку для правой части:

$2 \le x^2 + 2 \le 3$, то есть $2 \le g(x) \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение правой части уравнения равно 2, и оно также достигается при $x=0$.

Сравним полученные оценки. Исходное уравнение $\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} = x^2 + 2$ может иметь решение только в том случае, когда его левая часть равна правой.

Из наших оценок:

Левая часть: $\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} \le 2$.

Правая часть: $x^2 + 2 \ge 2$.

Равенство возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе:

$\begin{cases} \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} = 2 \\ x^2 + 2 = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения системы немедленно следует:

$x^2 = 0 \implies x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению системы. Подставим $x=0$:

$\sqrt{1 - 0} + \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Следовательно, $x=0$ является единственным решением системы и, соответственно, единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $0$.