Номер 18.49, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.49, страница 183.

Условие.

18.49. Докажите неравенство

$(a+c)(b+d) \le \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{c^2+b^2} \cdot \sqrt{a^2+d^2}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые определённым образом:
$(a+c)(b+d) = ab + ad + bc + cd = (ad+bc) + (ab+cd)$.

Воспользуемся свойством модуля, известным как неравенство треугольника для действительных чисел, которое гласит, что для любых чисел $x$ и $y$ выполняется $x+y \le |x|+|y|$. Применив это свойство к полученному выражению, получим:
$(ad+bc) + (ab+cd) \le |ad+bc| + |ab+cd|$.

Теперь оценим каждое из слагаемых в правой части последнего неравенства с помощью неравенства Коши-Буняковского (также известного как неравенство Коши-Шварца). Для двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ оно записывается как $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$, где $\vec{u} \cdot \vec{v}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — их длины (модули).

1. Для оценки слагаемого $|ad+bc|$ рассмотрим векторы $\vec{m}=(a, b)$ и $\vec{n}=(d, c)$.
Их скалярное произведение: $\vec{m} \cdot \vec{n} = a \cdot d + b \cdot c = ad+bc$.
Их длины: $|\vec{m}| = \sqrt{a^2+b^2}$ и $|\vec{n}| = \sqrt{d^2+c^2}$.
Согласно неравенству Коши-Буняковского:
$|ad+bc| \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{d^2+c^2} = \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$.

2. Для оценки слагаемого $|ab+cd|$ рассмотрим векторы $\vec{p}=(a, d)$ и $\vec{q}=(b, c)$.
Их скалярное произведение: $\vec{p} \cdot \vec{q} = a \cdot b + d \cdot c = ab+cd$.
Их длины: $|\vec{p}| = \sqrt{a^2+d^2}$ и $|\vec{q}| = \sqrt{b^2+c^2}$.
Согласно неравенству Коши-Буняковского:
$|ab+cd| \le \sqrt{a^2+d^2}\sqrt{b^2+c^2} = \sqrt{c^2+b^2}\sqrt{a^2+d^2}$.

Сложив два полученных неравенства, мы получим оценку для суммы модулей:
$|ad+bc| + |ab+cd| \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{c^2+b^2}\sqrt{a^2+d^2}$.

Наконец, объединяя все шаги в одну цепочку неравенств, мы доказываем исходное утверждение:
$(a+c)(b+d) = (ad+bc) + (ab+cd) \le |ad+bc| + |ab+cd| \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{c^2+b^2}\sqrt{a^2+d^2}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.