Номер 18.44, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.44, страница 183.

Условие.

18.44. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $3x + 4y,$ если $x^2 + y^2 = 1.$

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $3x + 4y$ при условии $x^2 + y^2 = 1$ можно использовать несколько способов.

Способ 1. Тригонометрическая подстановка

Условие $x^2 + y^2 = 1$ является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом 1. Любая точка $(x, y)$ на этой окружности может быть представлена в параметрическом виде: $x = \cos t$, $y = \sin t$, где $t$ — параметр (угол).

Подставим эти выражения в $3x + 4y$:

$E = 3\cos t + 4\sin t$

Теперь задача сводится к нахождению диапазона значений функции $E(t) = 3\cos t + 4\sin t$. Для этого используем метод введения вспомогательного угла. Преобразуем выражение:

$E(t) = \sqrt{3^2 + 4^2} \left( \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\cos t + \frac{4}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\sin t \right)$

$E(t) = \sqrt{9 + 16} \left( \frac{3}{5}\cos t + \frac{4}{5}\sin t \right) = 5 \left( \frac{3}{5}\cos t + \frac{4}{5}\sin t \right)$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

Тогда выражение принимает вид:

$E(t) = 5(\cos \alpha \cos t + \sin \alpha \sin t)$

Используя формулу косинуса разности $\cos(t - \alpha) = \cos t \cos \alpha + \sin t \sin \alpha$, получаем:

$E(t) = 5\cos(t - \alpha)$

Мы знаем, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(t - \alpha) \le 1$.

Умножив все части неравенства на 5, получим диапазон значений для $E(t)$:

$-5 \le 5\cos(t - \alpha) \le 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -5, а наибольшее — 5.

Способ 2. Геометрическая интерпретация

Уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает на координатной плоскости окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Пусть $E = 3x + 4y$. Это уравнение можно переписать в виде $3x + 4y - E = 0$, что является уравнением прямой. При изменении $E$ мы получаем семейство параллельных прямых. Нам нужно найти такие значения $E$, при которых прямая из этого семейства имеет общие точки с окружностью.

Наибольшее и наименьшее значения $E$ будут достигаться тогда, когда прямая будет касаться окружности. Расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $3x + 4y - E = 0$ должно быть равно радиусу окружности, то есть 1.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0) = (0, 0)$, $A=3$, $B=4$, $C=-E$.

$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - E|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-E|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|E|}{\sqrt{25}} = \frac{|E|}{5}$

Приравниваем расстояние к радиусу: $d = R = 1$.

$\frac{|E|}{5} = 1 \implies |E| = 5$

Отсюда следует, что $E = 5$ или $E = -5$. Это и есть наибольшее и наименьшее значения выражения.

Способ 3. Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского для векторов $\vec{a}=(a_1, a_2)$ и $\vec{b}=(b_1, b_2)$ гласит:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$

В координатной форме:

$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$

Применим это неравенство для векторов $\vec{a}=(3, 4)$ и $\vec{b}=(x, y)$.

$(3x + 4y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)$

Согласно условию задачи, $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение:

$(3x + 4y)^2 \le (9 + 16) \cdot 1$

$(3x + 4y)^2 \le 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|3x + 4y| \le 5$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$-5 \le 3x + 4y \le 5$

Следовательно, наибольшее значение выражения $3x + 4y$ равно 5, а наименьшее — -5.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 5, а наименьшее — -5.