Номер 18.41, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.41, страница 182.

Условие.

18.41. Докажите, что если $x + y + z = 1$, то $x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}$.

Решение.

18.41. Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться несколькими способами. Приведем два из них.

Способ 1: Использование неравенства Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского для двух наборов из трех действительных чисел $(x, y, z)$ и $(a, b, c)$ имеет вид: $(xa + yb + zc)^2 \le (x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2)$.

Применим это неравенство для наборов $(x, y, z)$ и $(1, 1, 1)$:

$(x \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 1)^2 \le (x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2)$

Упрощая, получаем:

$(x + y + z)^2 \le 3(x^2 + y^2 + z^2)$

Согласно условию задачи, $x + y + z = 1$. Подставим это значение в полученное неравенство:

$1^2 \le 3(x^2 + y^2 + z^2)$

$1 \le 3(x^2 + y^2 + z^2)$

Разделив обе части неравенства на 3, получаем требуемое:

$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}$

Способ 2: Алгебраические преобразования

Возведем в квадрат данное в условии равенство $x+y+z=1$:

$(x+y+z)^2 = 1^2$

$x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 1$

Из этого равенства выразим сумму попарных произведений:

$2(xy+yz+zx) = 1 - (x^2+y^2+z^2)$

Рассмотрим известное неравенство, справедливое для любых действительных чисел $x, y, z$:

$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$

(Это неравенство легко доказать, если рассмотреть неотрицательную сумму квадратов $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \ge 0$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы получим $2x^2+2y^2+2z^2 - 2xy-2yz-2zx \ge 0$, что эквивалентно исходному неравенству).

Умножим обе части этого неравенства на 2:

$2(x^2+y^2+z^2) \ge 2(xy+yz+zx)$

Заменим правую часть неравенства, используя выведенное ранее выражение:

$2(x^2+y^2+z^2) \ge 1 - (x^2+y^2+z^2)$

Перенесем слагаемое $-(x^2+y^2+z^2)$ из правой части в левую, изменив знак:

$2(x^2+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2) \ge 1$

$3(x^2+y^2+z^2) \ge 1$

Разделив обе части на 3, получаем искомое неравенство:

$x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3}$

Таким образом, утверждение доказано. Равенство достигается, когда $x=y=z$. Подставляя в исходное условие, находим, что это происходит при $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.