Номер 18.40, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.40, страница 182.

Условие.

18.40. Докажите, что $|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le 1$.

Решение.

Для того чтобы выражение имело смысл в действительных числах, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это накладывает ограничения на возможные значения переменных $a$ и $b$.

$1 - a^2 \ge 0 \implies a^2 \le 1 \implies -1 \le a \le 1$

$1 - b^2 \ge 0 \implies b^2 \le 1 \implies -1 \le b \le 1$

Таким образом, переменные $a$ и $b$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Докажем неравенство несколькими способами.

Способ 1: Тригонометрическая подстановка

Поскольку $a \in [-1, 1]$ и $b \in [-1, 1]$, мы можем сделать замену переменных. Пусть $a = \sin(\alpha)$ и $b = \sin(\beta)$, где углы $\alpha, \beta$ выбраны из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

При таком выборе углов $\alpha$ и $\beta$, значения их косинусов будут неотрицательными:

$\sqrt{1 - a^2} = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{\cos^2(\alpha)} = |\cos(\alpha)| = \cos(\alpha)$

$\sqrt{1 - b^2} = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{\cos^2(\beta)} = |\cos(\beta)| = \cos(\beta)$

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого неравенства:

$|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| = |\sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)|$

Используя формулу синуса суммы углов $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$, получаем:

$|\sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)| = |\sin(\alpha+\beta)|$

Область значений функции синус для любого действительного аргумента — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любых углов $\alpha$ и $\beta$ выполняется неравенство $|\sin(\alpha+\beta)| \le 1$.

Таким образом, $|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

Способ 2: Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

Рассмотрим два вектора в двумерном пространстве: $\vec{x} = (a, b)$ и $\vec{y} = (\sqrt{1-b^2}, \sqrt{1-a^2})$.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для скалярного произведения векторов гласит: $|\vec{x} \cdot \vec{y}| \le ||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}||$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$\vec{x} \cdot \vec{y} = a \cdot \sqrt{1-b^2} + b \cdot \sqrt{1-a^2}$

Это в точности выражение под знаком модуля в исходном неравенстве.

Теперь найдем длины (нормы) векторов:

$||\vec{x}|| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$||\vec{y}|| = \sqrt{(\sqrt{1-b^2})^2 + (\sqrt{1-a^2})^2} = \sqrt{(1-b^2) + (1-a^2)} = \sqrt{2 - a^2 - b^2}$

Согласно неравенству Коши-Буняковского-Шварца:

$|a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2}| \le \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{2 - a^2 - b^2} = \sqrt{(a^2+b^2)(2 - (a^2+b^2))}$

Пусть $t = a^2+b^2$. Поскольку $a^2 \in [0, 1]$ и $b^2 \in [0, 1]$, то $t \in [0, 2]$. Нам нужно доказать, что $\sqrt{t(2-t)} \le 1$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$t(2-t) \le 1^2$

$2t - t^2 \le 1$

$0 \le t^2 - 2t + 1$

$0 \le (t-1)^2$

Это неравенство верно для любого действительного числа $t$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

Способ 3: Алгебраическое преобразование

Неравенство вида $|E| \le 1$ эквивалентно неравенству $E^2 \le 1$. Возведем в квадрат выражение, стоящее под знаком модуля:

$(a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 \le 1$

Раскроем скобки в левой части:

$a^2(1-b^2) + 2ab\sqrt{(1-b^2)(1-a^2)} + b^2(1-a^2) \le 1$

$a^2 - a^2b^2 + 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} + b^2 - a^2b^2 \le 1$

$a^2 + b^2 - 2a^2b^2 + 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le 1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы слева остался ноль:

$0 \le 1 - a^2 - b^2 + 2a^2b^2 - 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}$

Рассмотрим выражение $(\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} - ab)^2$. Раскрыв его, получим:

$(\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)})^2 - 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} + (ab)^2$

$= (1-a^2)(1-b^2) - 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} + a^2b^2$

$= (1 - a^2 - b^2 + a^2b^2) - 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} + a^2b^2$

$= 1 - a^2 - b^2 + 2a^2b^2 - 2ab\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}$

Это в точности правая часть нашего неравенства. Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$0 \le (\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} - ab)^2$

Данное неравенство всегда верно, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, и исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.