Номер 18.33, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.33, страница 182.

Условие.

18.33. Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство

$\frac{(a+1)^2}{b} + \frac{(b+1)^2}{a} \ge 8.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца в форме Энгеля (также известным как лемма Титу). Для любых положительных чисел $x_1, x_2, y_1, y_2$ справедливо неравенство:

$\frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} \ge \frac{(x_1 + x_2)^2}{y_1 + y_2}$

Применим это неравенство к левой части исходного выражения. По условию числа $a$ и $b$ положительные, поэтому мы можем положить $x_1 = a+1$, $x_2 = b+1$, $y_1 = b$ и $y_2 = a$.

$\frac{(a+1)^2}{b} + \frac{(b+1)^2}{a} \ge \frac{((a+1) + (b+1))^2}{b+a} = \frac{(a+b+2)^2}{a+b}$

Теперь докажем, что полученное выражение не меньше 8:

$\frac{(a+b+2)^2}{a+b} \ge 8$

Обозначим $S = a+b$. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $S > 0$. Неравенство примет вид:

$\frac{(S+2)^2}{S} \ge 8$

Поскольку $S > 0$, мы можем умножить обе части на $S$, не меняя знака неравенства:

$(S+2)^2 \ge 8S$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$S^2 + 4S + 4 \ge 8S$

$S^2 - 4S + 4 \ge 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(S-2)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного значения $S$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Поскольку все преобразования были равносильными (для $a,b>0$), исходное неравенство также доказано.

Ответ: Неравенство доказано.