Номер 18.27, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.27, страница 182.

Условие.

18.27. Найдите наибольшее значение выражения $\frac{x}{9x^2 + 1}$, если $x > 0$.

Решение.

Для нахождения наибольшего значения выражения $y = \frac{x}{9x^2 + 1}$ при $x > 0$, мы можем найти наименьшее значение обратного ему выражения $\frac{1}{y}$. Это возможно, так как при $x > 0$ и числитель, и знаменатель исходной дроби положительны, а значит, и само выражение $y$ всегда положительно.

Рассмотрим обратное выражение:

$\frac{1}{y} = \frac{9x^2 + 1}{x}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{1}{y} = \frac{9x^2}{x} + \frac{1}{x} = 9x + \frac{1}{x}$

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения суммы $9x + \frac{1}{x}$ при $x > 0$.

Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для двух любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

В нашем случае пусть $a = 9x$ и $b = \frac{1}{x}$. Так как по условию $x > 0$, оба этих слагаемых положительны.

Применим неравенство к нашей сумме:

$9x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{9x \cdot \frac{1}{x}}$

$9x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{9}$

$9x + \frac{1}{x} \ge 2 \cdot 3$

$9x + \frac{1}{x} \ge 6$

Таким образом, наименьшее значение выражения $9x + \frac{1}{x}$ равно 6. Равенство в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда слагаемые равны, то есть $a = b$:

$9x = \frac{1}{x}$

$9x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{9}$

Поскольку $x > 0$, решением является $x = \frac{1}{3}$.

Мы установили, что наименьшее значение для $\frac{1}{y}$ равно 6. Следовательно, наибольшее значение для исходного выражения $y$ будет обратной величиной:

$y_{\text{наиб}} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$