Номер 18.21, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.21, страница 181.

Условие.

18.21. Известно, что $x > 0$ и $xy = 12$. Найдите наименьшее значение выражения $x + 3y$.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство достигается только в том случае, когда $a=b$.

По условию $x > 0$. Из равенства $xy = 12$ следует, что $y = \frac{12}{x}$, поэтому $y$ также больше нуля. Это позволяет нам применить неравенство Коши к слагаемым выражения $x+3y$. Пусть $a=x$ и $b=3y$. Оба эти числа положительны.

Применим неравенство:

$\frac{x+3y}{2} \ge \sqrt{x \cdot 3y}$

Умножим обе части на 2:

$x+3y \ge 2\sqrt{3xy}$

Мы знаем, что $xy = 12$. Подставим это значение в правую часть неравенства:

$x+3y \ge 2\sqrt{3 \cdot 12}$

$x+3y \ge 2\sqrt{36}$

$x+3y \ge 2 \cdot 6$

$x+3y \ge 12$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $x+3y$ всегда не меньше 12. Наименьшее значение, равное 12, достигается, когда в неравенстве Коши выполняется равенство, то есть когда $a=b$:

$x = 3y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} xy = 12 \\ x = 3y \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $y$:

$(3y)y = 12$

$3y^2 = 12$

$y^2 = 4$

Так как $y>0$, то $y=2$.

Теперь найдем $x$:

$x = 3y = 3 \cdot 2 = 6$

При $x=6$ и $y=2$ значение выражения $x+3y$ равно $6 + 3(2) = 6 + 6 = 12$. Это и есть наименьшее значение выражения.

Ответ: 12