Номер 18.17, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.17, страница 181.

Условие.

18.17. Дано: $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Докажите, что

$-1 \le ax + by + cz \le 1$.

Решение.

Для доказательства данного двойного неравенства можно воспользоваться несколькими подходами. Рассмотрим три из них.

Способ 1: Алгебраический (через неотрицательность квадрата)

Этот метод является наиболее элементарным и опирается на тот факт, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
1. Сначала докажем правую часть неравенства: $ax + by + cz \leq 1$. Рассмотрим сумму квадратов: $(a-x)^2 + (b-y)^2 + (c-z)^2$. Эта сумма всегда неотрицательна: $(a-x)^2 + (b-y)^2 + (c-z)^2 \geq 0$
Раскроем скобки: $a^2 - 2ax + x^2 + b^2 - 2by + y^2 + c^2 - 2cz + z^2 \geq 0$
Сгруппируем слагаемые: $(a^2 + b^2 + c^2) + (x^2 + y^2 + z^2) - 2(ax + by + cz) \geq 0$
По условию задачи, $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ и $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Подставим эти значения: $1 + 1 - 2(ax + by + cz) \geq 0$ $2 - 2(ax + by + cz) \geq 0$ $2 \geq 2(ax + by + cz)$ $1 \geq ax + by + cz$, что доказывает правую часть.
2. Теперь докажем левую часть неравенства: $-1 \leq ax + by + cz$. Аналогично рассмотрим сумму квадратов $(a+x)^2 + (b+y)^2 + (c+z)^2 \geq 0$: $a^2 + 2ax + x^2 + b^2 + 2by + y^2 + c^2 + 2cz + z^2 \geq 0$
Сгруппируем слагаемые: $(a^2 + b^2 + c^2) + (x^2 + y^2 + z^2) + 2(ax + by + cz) \geq 0$
Подставим известные значения: $1 + 1 + 2(ax + by + cz) \geq 0$ $2 + 2(ax + by + cz) \geq 0$ $2(ax + by + cz) \geq -2$ $ax + by + cz \geq -1$, что доказывает левую часть.
Объединив оба результата, мы получаем требуемое двойное неравенство: $-1 \leq ax + by + cz \leq 1$.

Способ 2: Через неравенство Коши-Буняковского

Данное неравенство является частным случаем неравенства Коши-Буняковского (или Коши-Шварца). Для двух наборов действительных чисел $(a, b, c)$ и $(x, y, z)$ оно записывается так: $(ax + by + cz)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)$
Подставим в это неравенство значения из условия задачи: $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ и $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. $(ax + by + cz)^2 \leq 1 \cdot 1$ $(ax + by + cz)^2 \leq 1$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $|ax + by + cz| \leq 1$
Это неравенство по модулю равносильно двойному неравенству: $-1 \leq ax + by + cz \leq 1$

Способ 3: Геометрический (векторный)

Рассмотрим два вектора в трехмерном пространстве: $\vec{u}=(a,b,c)$ и $\vec{v}=(x,y,z)$. Условия $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ и $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ означают, что длины (модули) этих векторов равны 1: $|\vec{u}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} = 1$ $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = 1$
Выражение $ax + by + cz$ является скалярным произведением этих векторов: $\vec{u} \cdot \vec{v}$. По определению, скалярное произведение векторов также можно вычислить через косинус угла $\theta$ между ними: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$
Подставляя известные длины векторов, получаем: $ax + by + cz = 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = \cos\theta$
Поскольку область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \leq \cos\theta \leq 1$, мы можем заключить, что: $-1 \leq ax + by + cz \leq 1$

Ответ: Неравенство $-1 \leq ax + by + cz \leq 1$ доказано.