Номер 18.11, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.11, страница 181.

Условие.

18.11. При $a > 0$ докажите неравенство $2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \geq 4a.$

Решение.

Для доказательства неравенства $2\left(a + \frac{1}{a}\right) + a^2 \ge 4a$ при $a > 0$ преобразуем его, перенеся все члены в левую часть:

$2\left(a + \frac{1}{a}\right) + a^2 - 4a \ge 0$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$2a + \frac{2}{a} + a^2 - 4a \ge 0$

$a^2 - 2a + \frac{2}{a} \ge 0$

Теперь преобразуем левую часть полученного неравенства, чтобы представить её в виде суммы неотрицательных выражений. Для этого добавим и вычтем $4a$ и $4$:

$a^2 - 2a + \frac{2}{a} = (a^2 - 4a + 4) + (2a - 4 + \frac{2}{a})$

Сгруппируем слагаемые в каждой из скобок:

$(a^2 - 4a + 4) + \left(2a - 4 + \frac{2}{a}\right) = (a-2)^2 + 2\left(a - 2 + \frac{1}{a}\right) = (a-2)^2 + 2\left(a + \frac{1}{a} - 2\right)$

Рассмотрим каждое слагаемое в полученной сумме $(a-2)^2 + 2\left(a + \frac{1}{a} - 2\right)$:

1. Первое слагаемое, $(a-2)^2$, является квадратом действительного числа, следовательно, оно всегда неотрицательно:

$(a-2)^2 \ge 0$

2. Второе слагаемое, $2\left(a + \frac{1}{a} - 2\right)$, также неотрицательно. Это следует из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для положительных чисел $a$ и $\frac{1}{a}$:

$a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$

Из этого следует, что $a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$. Умножение на положительное число $2$ не меняет знака неравенства, поэтому:

$2\left(a + \frac{1}{a} - 2\right) \ge 0$

Таким образом, левая часть неравенства $a^2 - 2a + \frac{2}{a} \ge 0$ представлена в виде суммы двух неотрицательных слагаемых: $(a-2)^2$ и $2\left(a + \frac{1}{a} - 2\right)$. Сумма неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна.

Следовательно, неравенство $a^2 - 2a + \frac{2}{a} \ge 0$ верно, а значит, верно и исходное неравенство $2\left(a + \frac{1}{a}\right) + a^2 \ge 4a$ для всех $a > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.