Номер 18.4, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.4, страница 180.

Условие.

18.4. Докажите, что если $a > 0$ и $b > 0$, то $(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$.

Решение.

18.4.

Для доказательства неравенства преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:

$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

Теперь исходное неравенство $(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ можно переписать в виде:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 4$

Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a^2 + b^2}{ab} \geq 2$

Поскольку по условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $ab$, не меняя знака неравенства:

$a^2 + b^2 \geq 2ab$

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Полученное неравенство является верным, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.