Номер 17.65, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.65, страница 172.

Условие.

17.65. Решите уравнение $(x^2 - x + 1)^4 - 10x^2(x^2 - x + 1)^2 + 9x^4 = 0$.

Решение.

Дано уравнение $(x^2 - x + 1)^4 - 10x^2(x^2 - x + 1)^2 + 9x^4 = 0$.

Это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно выражения $(x^2 - x + 1)^2$. Сделаем замену: пусть $y = (x^2 - x + 1)^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 - 10x^2 \cdot y + 9x^4 = 0$.

Разложим левую часть на множители. Заметим, что $-x^2$ и $-9x^2$ в сумме дают коэффициент при $y$, равный $-10x^2$, а в произведении дают свободный член $9x^4$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(y - x^2)(y - 9x^2) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$$\left[\begin{array}{l}y = x^2, \\y = 9x^2.\end{array}\right.$$

Выполним обратную замену $y = (x^2 - x + 1)^2$:

$$\left[\begin{array}{l}(x^2 - x + 1)^2 = x^2, \\(x^2 - x + 1)^2 = 9x^2.\end{array}\right.$$

Решим каждое уравнение этой совокупности.

1. Уравнение $(x^2 - x + 1)^2 = x^2$ равносильно совокупности:

$$\left[\begin{array}{l}x^2 - x + 1 = x, \\x^2 - x + 1 = -x.\end{array}\right.\iff\left[\begin{array}{l}x^2 - 2x + 1 = 0, \\x^2 + 1 = 0.\end{array}\right.$$

Из первого уравнения получаем $(x-1)^2 = 0$, откуда $x = 1$. Второе уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

2. Уравнение $(x^2 - x + 1)^2 = 9x^2$ равносильно совокупности:

$$\left[\begin{array}{l}x^2 - x + 1 = 3x, \\x^2 - x + 1 = -3x.\end{array}\right.\iff\left[\begin{array}{l}x^2 - 4x + 1 = 0, \\x^2 + 2x + 1 = 0.\end{array}\right.$$

Решаем уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Корни $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Решаем уравнение $x^2 + 2x + 1 = 0$. Это полный квадрат $(x+1)^2 = 0$, откуда $x = -1$.

Объединяя все найденные действительные корни, получаем итоговое решение.

Ответ: $-1; 1; 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.