Номер 18.3, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.3, страница 180.

Условие.

18.3. Докажите неравенство $(x+y)(xy+16) \geq 16xy$, где $x \geq 0, y \geq 0$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$, которое гласит: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

1. Поскольку по условию $x \ge 0$ и $y \ge 0$, мы можем применить это неравенство к числам $x$ и $y$:

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

2. Так как $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то их произведение $xy$ также неотрицательно. Применим неравенство Коши к числам $xy$ и $16$:

$xy + 16 \ge 2\sqrt{xy \cdot 16}$

Упростим правую часть этого неравенства:

$2\sqrt{16xy} = 2 \cdot 4\sqrt{xy} = 8\sqrt{xy}$

Таким образом, мы получили второе неравенство:

$xy + 16 \ge 8\sqrt{xy}$

3. Теперь у нас есть два неравенства:

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

$xy + 16 \ge 8\sqrt{xy}$

Поскольку все части обоих неравенств являются неотрицательными (так как $x \ge 0$, $y \ge 0$), мы можем перемножить левые и правые части этих неравенств, сохранив знак неравенства:

$(x + y)(xy + 16) \ge (2\sqrt{xy})(8\sqrt{xy})$

Выполним умножение в правой части:

$(2\sqrt{xy})(8\sqrt{xy}) = 16 \cdot (\sqrt{xy})^2 = 16xy$

В итоге мы получаем исходное неравенство:

$(x + y)(xy + 16) \ge 16xy$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.