Номер 18.9, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.9, страница 181.

Условие.

18.9. Докажите неравенство $\frac{x^2 + 6}{4} \geqslant \sqrt{x^2 + 2}.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства необходимо показать, что оно выполняется для всех действительных значений $x$.

Обе части неравенства неотрицательны при любых $x$:

• Левая часть: $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+6 \ge 6$, и $\frac{x^2+6}{4} \ge \frac{6}{4} > 0$.
• Правая часть: $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+2 \ge 2$, и $\sqrt{x^2+2} > 0$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:$$ \left(\frac{x^2+6}{4}\right)^2 \ge \left(\sqrt{x^2+2}\right)^2 $$

Выполним преобразования:$$ \frac{(x^2+6)^2}{16} \ge x^2+2 $$

Умножим обе части на 16:$$ (x^2+6)^2 \ge 16(x^2+2) $$

Раскроем скобки:$$ (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 6 + 6^2 \ge 16x^2 + 32 $$$$ x^4 + 12x^2 + 36 \ge 16x^2 + 32 $$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:$$ x^4 + 12x^2 - 16x^2 + 36 - 32 \ge 0 $$$$ x^4 - 4x^2 + 4 \ge 0 $$

Заметим, что полученное выражение в левой части является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x^2$ и $b=2$:$$ (x^2 - 2)^2 \ge 0 $$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Поскольку $x$ — действительное число, то $x^2-2$ также является действительным числом, и, следовательно, $(x^2-2)^2 \ge 0$ всегда является истинным утверждением.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $\frac{x^2+6}{4} \ge \sqrt{x^2+2}$ также верно для всех действительных значений $x$.

Ответ: Неравенство доказано.