Номер 18.16, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.16, страница 181.

Условие.

18.16. Докажите неравенство $ \sqrt{1 + a^2} \cdot \sqrt{1 + b^2} \ge |1 + ab| $.

Решение.

Для доказательства неравенства $\sqrt{1+a^2} \cdot \sqrt{1+b^2} \ge |1+ab|$ рассмотрим обе его части.

Левая часть неравенства, $\sqrt{1+a^2} \cdot \sqrt{1+b^2}$, является произведением двух квадратных корней, поэтому её значение всегда неотрицательно. Правая часть, $|1+ab|$, является модулем числа и по определению также всегда неотрицательна. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{1+a^2} \cdot \sqrt{1+b^2})^2 \ge (|1+ab|)^2$

Упростим полученное выражение. В левой части квадрат произведения корней равен произведению подкоренных выражений. В правой части используем свойство модуля, согласно которому $|x|^2 = x^2$:

$(1+a^2)(1+b^2) \ge (1+ab)^2$

Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(1+a^2)(1+b^2) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot b^2 + a^2 \cdot 1 + a^2 \cdot b^2 = 1 + a^2 + b^2 + a^2b^2$.

Правая часть: $(1+ab)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot ab + (ab)^2 = 1 + 2ab + a^2b^2$.

Подставим раскрытые выражения обратно в неравенство:

$1 + a^2 + b^2 + a^2b^2 \ge 1 + 2ab + a^2b^2$

Вычтем из обеих частей неравенства одинаковые слагаемые $1$ и $a^2b^2$:

$a^2 + b^2 \ge 2ab$

Перенесём член $2ab$ из правой части в левую, изменив его знак:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности $a$ и $b$:

$(a-b)^2 \ge 0$

Последнее неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. больше или равен нулю).

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными (возведение в квадрат неотрицательных частей, тождественные алгебраические преобразования), то и исходное неравенство является верным.

Ответ: Неравенство доказано.