Номер 18.18, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.18, страница 181.

Условие.

18.18. Дано: $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, $x^2 + y^2 + z^2 = 3$. Докажите, что $-\sqrt{3} \le ax + by + cz \le \sqrt{3}$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся неравенством Коши — Буняковского — Шварца.

Для двух наборов действительных чисел $(a, b, c)$ и $(x, y, z)$ это неравенство записывается в виде:

$(ax + by + cz)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)$

По условию задачи имеем:

$a^2 + b^2 + c^2 = 1$

$x^2 + y^2 + z^2 = 3$

Подставим эти значения в неравенство:

$(ax + by + cz)^2 \le 1 \cdot 3$

$(ax + by + cz)^2 \le 3$

Это неравенство равносильно тому, что модуль выражения $ax + by + cz$ не превышает $\sqrt{3}$:

$|ax + by + cz| \le \sqrt{3}$

Раскрывая модуль, получаем требуемое двойное неравенство:

$-\sqrt{3} \le ax + by + cz \le \sqrt{3}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.