Номер 18.12, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.12, страница 181.

Условие.

18.12. Докажите неравенство $x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 1$.

Решение.

Для доказательства неравенства $x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 1$ выполним следующие преобразования.

Перенесем 1 в левую часть неравенства:

$x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} - 1 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x^2+1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то знаменатель $x^2+1$ всегда больше или равен 1, а значит, строго положителен. Поэтому при умножении на него знак неравенства не изменится.

$\frac{x^2(x^2 + 1) + 1 - 1(x^2 + 1)}{x^2 + 1} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^4 + x^2 + 1 - x^2 - 1}{x^2 + 1} \ge 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^4}{x^2 + 1} \ge 0$

Проанализируем полученное выражение:

1. Числитель дроби $x^4$ является четвертой степенью действительного числа $x$. Любая четная степень действительного числа всегда неотрицательна, то есть $x^4 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$, то есть знаменатель всегда строго положителен.

Отношение неотрицательного числа ($x^4$) к положительному числу ($x^2+1$) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{x^4}{x^2 + 1} \ge 0$ верно для всех действительных значений $x$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.