Номер 18.8, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.8, страница 181.

Условие.

18.8. Докажите неравенство $ \frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3} $.

Решение.

Для доказательства данного неравенства определим область допустимых значений. Выражение под корнем $a^2 + 3$ всегда положительно, так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$. Следовательно, неравенство определено для всех $a \in \mathbb{R}$.

Исходное неравенство:

$\frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3}$

Обе части неравенства являются положительными. Левая часть $\frac{a^2 + 4}{2}$ положительна, так как $a^2 + 4 > 0$. Правая часть $\sqrt{a^2 + 3}$ также положительна. Это позволяет нам возвести обе части неравенства в квадрат, сохранив знак неравенства:

$\left(\frac{a^2 + 4}{2}\right)^2 \ge \left(\sqrt{a^2 + 3}\right)^2$

Выполним возведение в степень:

$\frac{(a^2 + 4)^2}{4} \ge a^2 + 3$

Раскроем квадрат в числителе левой части по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$\frac{(a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2}{4} \ge a^2 + 3$

$\frac{a^4 + 8a^2 + 16}{4} \ge a^2 + 3$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$a^4 + 8a^2 + 16 \ge 4(a^2 + 3)$

$a^4 + 8a^2 + 16 \ge 4a^2 + 12$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$a^4 + 8a^2 - 4a^2 + 16 - 12 \ge 0$

$a^4 + 4a^2 + 4 \ge 0$

Выражение в левой части можно свернуть по формуле квадрата суммы, заметив, что $a^4 = (a^2)^2$ и $4 = 2^2$, а $4a^2 = 2 \cdot a^2 \cdot 2$:

$(a^2 + 2)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любого действительного значения $a$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 2$ является положительным числом, и его квадрат также будет неотрицателен.

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.