Номер 18.14, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.14, страница 181.

Условие.

18.14. Известно, что $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$. Докажите, что $|ac + bd| \leq 1$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование неравенства Коши — Буняковского — Шварца

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца для двух пар действительных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ утверждает, что скалярное произведение векторов $\vec{x}=(a, b)$ и $\vec{y}=(c, d)$ не превышает произведения их длин. В координатной форме это записывается как:

$(ac + bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

По условию задачи дано, что $a^2 + b^2 = 1$ и $c^2 + d^2 = 1$. Подставим эти значения в правую часть неравенства:

$(ac + bd)^2 \le 1 \cdot 1$

$(ac + bd)^2 \le 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:

$\sqrt{(ac + bd)^2} \le \sqrt{1}$

$|ac + bd| \le 1$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $|ac + bd| \le 1$ доказано.

Способ 2: Использование тригонометрической подстановки

Условия $a^2 + b^2 = 1$ и $c^2 + d^2 = 1$ означают, что точки с координатами $(a, b)$ и $(c, d)$ лежат на единичной окружности. Это позволяет сделать тригонометрическую замену.

Пусть $a = \cos \alpha$ и $b = \sin \alpha$ для некоторого угла $\alpha$.

Аналогично, пусть $c = \cos \beta$ и $d = \sin \beta$ для некоторого угла $\beta$.

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого неравенства:

$ac + bd = (\cos \alpha)(\cos \beta) + (\sin \alpha)(\sin \beta)$

Правая часть этого выражения является известной тригонометрической формулой косинуса разности двух углов:

$ac + bd = \cos(\alpha - \beta)$

Известно, что область значений функции косинус для любого угла лежит в отрезке $[-1, 1]$. То есть, для любого угла $\theta$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos \theta \le 1$

Следовательно, для нашего случая:

$-1 \le \cos(\alpha - \beta) \le 1$

Это означает, что $-1 \le ac + bd \le 1$, что равносильно утверждению:

$|ac + bd| \le 1$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $|ac + bd| \le 1$ доказано.

Способ 3: Алгебраический метод

Неравенство $|ac + bd| \le 1$ равносильно неравенству $(ac + bd)^2 \le 1$. Докажем, что разность $1 - (ac + bd)^2$ неотрицательна.

Из условий задачи $a^2 + b^2 = 1$ и $c^2 + d^2 = 1$. Перемножим эти два равенства:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1 \cdot 1 = 1$

Раскроем скобки в левой части:

$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = 1$

Теперь рассмотрим выражение $1 - (ac + bd)^2$. Подставим вместо 1 полученное выражение:

$1 - (ac + bd)^2 = (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) - (ac + bd)^2$

Раскроем квадрат суммы $(ac + bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2$:

$1 - (ac + bd)^2 = (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) - (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$1 - (ac + bd)^2 = a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом разности:

$a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad - bc)^2$

Таким образом, мы получили:

$1 - (ac + bd)^2 = (ad - bc)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(ad - bc)^2 \ge 0$.

Следовательно, $1 - (ac + bd)^2 \ge 0$, что эквивалентно $(ac + bd)^2 \le 1$.

Извлекая квадратный корень, получаем требуемое неравенство:

$|ac + bd| \le 1$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $|ac + bd| \le 1$ доказано.