Номер 18.20, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.20, страница 181.

Условие.

18.20. Переменные $x$ и $y$ принимают положительные значения, и их сумма постоянна. Докажите, что их произведение будет наибольшим тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Решение.

Пусть $x$ и $y$ — положительные переменные, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Их сумма является постоянной величиной, которую мы обозначим константой $C$. Таким образом, $x + y = C$.

Мы должны доказать, что их произведение $P = xy$ достигает наибольшего значения тогда и только тогда, когда $x = y$.

Выразим переменные $x$ и $y$ через их среднее арифметическое, которое равно $\frac{x+y}{2} = \frac{C}{2}$, и некоторое отклонение $d$ от этого среднего.

Пусть $x = \frac{C}{2} + d$.

Чтобы сумма $x+y$ оставалась равной $C$, переменная $y$ должна быть равна:

$y = C - x = C - (\frac{C}{2} + d) = \frac{C}{2} - d$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ положительны, то должны выполняться неравенства $\frac{C}{2} + d > 0$ и $\frac{C}{2} - d > 0$. Это означает, что $d$ находится в интервале $-\frac{C}{2} < d < \frac{C}{2}$.

Теперь найдем произведение $P$ через $C$ и $d$:

$P = xy = (\frac{C}{2} + d)(\frac{C}{2} - d)$.

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:

$P = (\frac{C}{2})^2 - d^2 = \frac{C^2}{4} - d^2$.

Из полученного выражения видно, что значение произведения $P$ зависит от величины $d^2$. Так как $C$ является константой, то и $\frac{C^2}{4}$ также является постоянной величиной.

Чтобы произведение $P$ было наибольшим, необходимо, чтобы вычитаемое $d^2$ было наименьшим из всех возможных.

Поскольку $d$ — это вещественное число, квадрат этого числа всегда неотрицателен: $d^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение $d^2$ равно 0.

Это наименьшее значение достигается тогда и только тогда, когда $d = 0$.

Рассмотрим, чему равны $x$ и $y$ при $d=0$:

$x = \frac{C}{2} + 0 = \frac{C}{2}$

$y = \frac{C}{2} - 0 = \frac{C}{2}$

В этом случае $x = y$. При этом произведение принимает свое максимальное значение $P_{max} = \frac{C^2}{4} - 0 = \frac{C^2}{4}$.

Если же $x \neq y$, это означает, что $d \neq 0$, и, следовательно, $d^2 > 0$. В этом случае произведение $P = \frac{C^2}{4} - d^2$ будет строго меньше, чем $\frac{C^2}{4}$.

Таким образом, мы доказали, что произведение $xy$ достигает своего наибольшего значения тогда и только тогда, когда $d=0$, что эквивалентно условию $x=y$.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение двух положительных переменных с постоянной суммой будет наибольшим тогда и только тогда, когда эти переменные равны.