Номер 18.26, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.26, страница 182.

Условие.

18.26. Известно, что $x > 0$. Найдите наименьшее значение выражения

$\frac{x^2 + 10x + 16}{x}$

Решение.

Для нахождения наименьшего значения выражения преобразуем его. Обозначим данное выражение как функцию $f(x)$:

$f(x) = \frac{x^2 + 10x + 16}{x}$

Поскольку по условию задачи $x > 0$, мы можем разделить числитель почленно на знаменатель $x$:

$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{10x}{x} + \frac{16}{x} = x + 10 + \frac{16}{x}$

Далее задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Перегруппируем слагаемые в выражении для $f(x)$:

$f(x) = (x + \frac{16}{x}) + 10$

Поскольку $x > 0$, то и слагаемое $\frac{16}{x}$ также больше нуля. Для двух положительных чисел $a=x$ и $b=\frac{16}{x}$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, что эквивалентно $a+b \geq 2\sqrt{ab}$.

Применим это неравенство к сумме $x + \frac{16}{x}$:

$x + \frac{16}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{16}{x}}$

$x + \frac{16}{x} \geq 2\sqrt{16}$

$x + \frac{16}{x} \geq 2 \cdot 4$

$x + \frac{16}{x} \geq 8$

Таким образом, наименьшее значение суммы $x + \frac{16}{x}$ равно 8. Равенство достигается, когда $x = \frac{16}{x}$, то есть $x^2 = 16$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $x=4$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение всей функции $f(x)$:

$f(x)_{min} = (x + \frac{16}{x})_{min} + 10 = 8 + 10 = 18$.

Способ 2: С помощью производной

Рассмотрим функцию $f(x) = x + 10 + \frac{16}{x}$. Для нахождения точки минимума найдем ее производную по $x$:

$f'(x) = (x + 10 + 16x^{-1})' = 1 - 16x^{-2} = 1 - \frac{16}{x^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$1 - \frac{16}{x^2} = 0$

$1 = \frac{16}{x^2}$

$x^2 = 16$

Так как по условию $x > 0$, единственная критическая точка в области определения – это $x=4$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак второй производной:

$f''(x) = (1 - 16x^{-2})' = -(-2) \cdot 16x^{-3} = \frac{32}{x^3}$

При $x=4$, вторая производная $f''(4) = \frac{32}{4^3} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $f''(4) > 0$, точка $x=4$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на интервале $(0; +\infty)$, то это и точка глобального минимума.

Вычислим наименьшее значение функции, подставив $x=4$ в исходное выражение:

$f(4) = 4 + 10 + \frac{16}{4} = 4 + 10 + 4 = 18$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 18